سری فوریه

[mohamad.s]

سری فوریه


سری فوریه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد





سری فوریه، روشی در ریاضیات (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA) می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7% D9%88%D8%A8) به صورت جمعی از توابع سینوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3) و کسینوس (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%88%D8%B3) می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%AF%D8%A7%D9%86) فرانسوی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%D9%87)، ژوزف فوریه (http://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%98%D9%88%D8%B2%D9%81_%D9%81%D9%88%D8%B1%DB%8C% D9%87) ثبت شده است.
اگر http://upload.wikimedia.org/math/b/d/9/bd91e763bbdaf805f4d4ebcf0d39b855.png یک تابع متناوب با دوره تناوب (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D9%88%D8%B1%D9%87_%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%88% D8%A8) T باشد (یا به عبارتی: ‎f(t + T) = f(t)‎) و بطور مطلق انتگرال‌پذیر باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:
http://upload.wikimedia.org/math/0/b/8/0b872ac313b09fd2dd9e7491dffdc703.png
که در آن ωn هارمونیک (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%87%D8%A7%D8%B1%D9%85%D9%88%D9% 86%DB%8C%DA%A9&action=edit&redlink=1) nام سری فوریه به رادیان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D8%A7%D8%AF%DB%8C%D8%A7%D9%86) بوده و ضرایب an، a0 و bn را می‌توان از فرمول‌های اولر (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84%E2% 80%8C%D9%87%D8%A7%DB%8C_%D8%A7%D9%88%D9%84%D8%B1&action=edit&redlink=1) بدست آورد.

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:


http://upload.wikimedia.org/math/d/c/c/dccc351100ed03e0e5017730fd109bf5.png

و در اینجا:


http://upload.wikimedia.org/math/8/a/a/8aafb7fb7acd48cd88c241eae624d26a.png .

محاسبه ضرایب فوریه

در تبدیل فوریه (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A8%D8%AF%DB%8C%D9%84_%D9%81%D9%88%D8%B1% DB%8C%D9%87) سه ضریب an و bn و ضریب ثابت a0 (یا cn)مطرح است.
اگر طول بازه تابع 2l باشد آنگاه داریم:
http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/4551e010baa679ad3f89cf05ba5719d4.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692dfb166aac547fda813b219bffa2b3.png
http://upload.wikimedia.org/math/f/0/a/f0a4ebec618a55641a99ff0fcf98eb87.png
بازه [π,π-] یا در کل بازه هایی که طول آنها 2π است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب p = 2π پس ضرایب عبارتند از:

http://upload.wikimedia.org/math/b/8/9/b895cbcf9ede46ee67c009c233f9802a.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/2/0/a200ea831d1411f4569db7e04f337414.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/6/7c6176e5b11721b69520b3d0aaaa6048.png


جستار وابسته



تبدیل فوریه (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A8%D8%AF%DB%8C%D9%84_%D9%81%D9%88%D8%B1% DB%8C%D9%87)
سری تیلور (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B1%DB%8C_%D8%AA%DB%8C%D9%84%D9%88%D8%B1)