╬♥╬ مقالات ریاضی ╬♥╬

[R A H A]

تاریخ جبر: توسیعهای گراسمان

تا جایی که من اطلاع دارم اولین کسی که صریحاً "مفهوم فضای برداری n بعدی" را تعریف کرد، هرمان گونتر گراسمان بود که آن را در کتابش "نظریه توسیعهای خطی" آورد. البته، مفهوم "فصای برداری" در اثار مولفان متقدم متعددی به طور ضمنی بود. در "پرینکپپیا" ی نیوتن، سرعتها و نیروها بردارند. جمع اعداد مختلط به توسط وسل و ارگان به صورت جمع "پاره خطهای جهت دار" در صفحه تعریف شد.
کشف جبرها
هیاتهای گالوای- که به وسیله گالوا ساخته شدند، فضای برداری n بعدی روی هیات GF(p) هستند. جبر کواترنیونها یک فضای برداری 4 بعدی روی R است و این امر بر همیلتن معلوم بود. زیرا در نامه اش به گریوز نوشت: "و در اینجا مفهومی بر من آشکار شد که ناچار باید آن را بپذیرم، یعنی، مفهوم بعد چهارم فضا..."
درک حساب توسیعهای گراسمان بسیار دشوار است. توضیحات وی با نظریه های فلسفی آمیخته اند. بحث او با "اصول کلی فرمها" شروع می شودکه باید مقدم بر همه شاخه های خاص ریاضیات باشد. تعریفهای او از جمع و ضرب بردار ها در یک فضای برداری n بعدی با ملاحظات صرفاً هندسی بدون بکار گیری اعضای پایهf1,…,fn صورت گرفته است. از جنبه اصل موضوعی جدید، ما منظور او را درک می کنیم اما معاصرینش از فهم آن ناتوان بوده اند.
در 1862، گراسمان کتاب دیگری تحت عنوان "بررسی کامل و دقیق توسیعها" منتشر کرد ولی این کتاب نیز چنان که خود گراسمان در پیشگفتار چاپ دوم(1878) نخستین کتابش در "نظریه توسیعها" متذکر می شود تاثیر اندکی داشت.
ولی چنان که گراسمان در پیشگفتار اشاره می کند در سال 1867 هنگامی که هرمان هانکل قسمت اول کتابش"درسهای از اعداد مختلط و توابع آنها" را با عنوان فرعی "نظریه دستگاه اعداد مختلط" منتشر کرد، وضع کاملاً تغییر کرد. عنوان فصل VII این کتاب "نظریه و نمایش هندسی اعداد متناوب" است. "اعداد متناوب هانکل درست "اندازه توسیعها"ی گراسمان است، یعنی بردار های n بعدی و حاصلضربهای تانسوری متناوب آنها.
در بخش حاضر توضیحات کاملاً روشن هانکل را دنبال خواهم کرد، که بر طبق اظهار خود هانکل، بر "نظریه توسیعهای 1862" گراسمان مبتنی اند ولی من آنها را ملاحظه نکرده ام.
هانکل جبر را در نظر می گیرد که با اعضای ---- مشروط بر قوائد ضرب
ikik=0
ik im=_im ik
تولید می شود.
تاریخ جبر:
او اشارمی کند که اگر α و β بردارهای ذیل باشند:
α= α1į1+ . . .+ αnіn
β= β1і1+…+βnіn
آنگاه حاصلضرب
αβ = (α1β2_α2β1) i1 i2+ . . .+(αn-1βn_αnβn-1) in-1 in
دارای ویژگیهای زیر است:
αβ=_βα
ه طور کلی علامت حاصلضرب تعدادی دلخواه از بردارها با تعویض دو عامل متوالی، عوض می شود.
هانکل به پیروی از گراسمان تعبیری هندسی از حاصلضربهای متناوب بردارها بدست می دهد. هرگاه دو بردار بر یک خط واقع باشند، حاصلضرب آنها صفر است. در غیر این صورت، متوازی الاضلاعی را که بر صفحه خاصی واقع و مساحت معینی دارد، پدید می آورند.
دو حاصلضرب cd و ab در صورتی برابرند که در صفحاتی موازی قرار گیرند و متوازی الاضلاعی را پدید آورند که دارای یک مساحت و یک جریان دوران از a به b و از c به d باشند. به همین ترتیب، حاصلضرب سه بردار را می توان به صورت متوازی السطوح جهتداری ساخت، و قس علیهذا.
حاصلضربهای بردارها و تانسورهای متناوب گراسمان را حاصلضربهای خارجی می نامند. در نمایشهای جدید این نظریه، مثلاً در "نظریه جبری اسپینورها"ی کلود شوالی(1954)، جبر گراسمان با وارد کردن یک عضو وسعت می یابد. این جبر اینک دارای 2^nعضو پایه است:
1
iab=ia ib (a<b)
iabc = ia ib ic (a<b<c)
.
.
.
i2…n=i1 i2…in
هانکل در ضمیمه تاریخ کتابش در ص.140، به ما خبر می دهد که ضرب خارجی گراسمان را سن_ونان(1845)، ابرین(1847)، و کوشی(1853) مستقلاً از نو کشف کرده اند.

[R A H A]

عدد اسرا آمیز 666 به « عدد شیطان » (The number of the beast) یا « نشان شیطان » (sign of the beast) معروف است. این عدد به کتب ضدمسیح (Antichrist) تعلق دارد و همچنین در کتاب مقدس مکاشف یوحنا (Revelation) در بخش 13 و شعر 18 با عنوان « کامل بودن » (to be exact) این عدد ذکر شده است که متن آن چنین است:
Here is wisdom. Let him that hath understanding count the number of the beast: for it is the number of a man; and his number is 666

« در اینجا خرد هست. بگذار آنکه فهمی دارد عدد شیطان را بشمارد زیرا آن عدد مردی است و عدد او 666 است. »

البته منبع پیدایش این عدد به این عنوان کاملاً مشخص نمی‌باشد. در مورد این عدد فیلم‌ها و داستان‌های مختلفی ساخته شده اند که اغلب آنها از سری فیلم‌ها و داستان‌های ترسناک هستند، از جمله فیلم Pulp Fiction و یا داستان The Da Vinci Code(رمز داوینچی). در این داستان این حدس وجود دارد که هرم شیشه ای موجود در موزه لور(Louvre) پاریس، به شیطان اختصاص دارد و از 666 قطعه شیشه ساخته شده است. البته تحقیقات در این زمینه بدون هیچ ابهامی مشخص می‌کند که این هرم شیشه‌ای از بیش از 670 قطعه شیشه تشکیل شده است.(اظهار رسمی موزه لور 673 قطعه است و شمارش‌های انجام شده بعدی حاکی است که این تعداد 698 عدد است.)
همچنین عدد 666 را می‌توان به نوعی در اسامی‌ نیز پیدا کردو. مثلاً مجموع کد اسکی (ASCII) کاراکترهای کلمه INDONESIA (اندونزی) برابر با 666 است.

صرف نظر از داستان‌ها و مطالب اسرار آمیزی که در مورد این عدد نوشته و گفته می‌شود، مطالعات ریاضیدانان در مورد این عدد نشان می‌دهد این عدد در حیطه ریاضی هم دارای خواص جالبی است که برای مطالعه در این زمینه به ویژگی‌های ریاضی عدد شیطان مراجعه کنید.

[R A H A]

زیبایی شناسی در ریاضیات

مقدمه
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می‌پندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بی‌احساس و بی‌ذوق می‌پندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته‌اش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر می‌شوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بی‌ذوقی ، بی‌احساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.

در واقع انسان ، مجموعه‌ای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمی‌توان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بی‌فرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش می‌یابد و در عین حال به فکر فرو می‌رود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان می‌کند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه‌ها و شکلها را مورد مطالعه قرار می‌دهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبه‌های گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است.
تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر
در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (1472 - 1404) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال 1435 میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آورند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لئوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تائید شد.
چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟
طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.
ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی
طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و ... می‌کند.
زیبایی ریاضیات در کجاست؟
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارائه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.
زیبایی مسائل ریاضی
برای بسیاری از مسائل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسائل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید... زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند... عجب!... پس اینطور!... چه زیبا!... و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.

هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.
رابطه زیباشناسی ریاضی
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی


این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه میشود.

[R A H A]

* عدد مقدس*

عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…


در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سا مرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.

[R A H A]

*رابطه حیوانات با اعداد ریاضی*

سیل یک پستاندار دریایی گوشتخوار است . آن را دست آموز می کنند و در برخی از سیرکها برای نمایش بکار می گیرند . از سیل می خواهند که تا فلان عدد را بشمارد . سیل با چند بار دمیدن در یک بوق پاسخ درستی به این سوال می دهد.
به همین ترتیب دیده شده است که یک اسب آموزش دیده در پاسخ مربی خود که عددی را از حیوان می پرسد ، می تواند با کوبیدن های پی در پی پا بر زمین ، آن عدد را پر کند.
اگر کسی شاهد چنین صحنه هایی باشد شاید گمان برد که حیوانات قادرند اعداد ریاضی را بشمرند.
ولی حقیقت آن است که هیچیک از این حیوانات مفهوم عدد را درک نمی کند و از عهده شمردن آنها بر نمی آید. آنچه رخ می دهد این است که مثلا سیل یا اسب،پس از یک دوره آموزش یاد می گیرند که در چه موقع عملی را شروع و در چه هنگام آن را تمام کنند.از این رو با دریافت علامتی که به آنها یاد داده شده آن کار را آغاز میکنند و سپس با دریافت علامت دیگری از ادامه کار دست بر میدارند.
البته برخی حیوانات توانایی تشخیص اعداد کوچکتر را از اعداد بزرگتر دارند.ولی این به این معناست که اگر در برابر حیوان دو بسته غذا باشد حیوان ترجیح می دهد بسته بزرگتر را بردارد.
دانشمندان بر این باورند که برخی از پرندگان و حیوانات واقعا توان شمارش دارند.
در یک آزمایش با یک کبوتر چنین کردند:مرتبا در جلویش دانه نهادند(یعنی هر بار که دانه ای را برمی داشت ، دانه بعدی را در بشقابش می گذاشتند.کبوتر دانه ها را برمی داشت تا شش دانه ، اما دانه هفتم که به ته بشقاب چسبیده بود کبوتر را از برداشتنش منصرف کرد.
پس از این کبوتر همیشه تا دانه ششم را بر میداشت ولی دانه هفتم را نه.
دانشمندان به این نتیجه رسیدند که این گونه تشخیص ، خود حاکی از یک شمارش واقعی است.

[R A H A]

اعداد دو قلو

آیا میدانید به چه اعدادی دوقلو گویند ؟
کوششی در جهت اثبات حدس اعداد دوقلو است که توسط گلدستون ( Goldston ) و همکارانش ( Hotohashi, Pintz and Yildirim ) ارائه شده است. حدودا یک سال قبل ، اثباتی به وسیله گلدستون و یلدریم ( Yildirim ) مطرح شد اما اشتباهی در آن صورت گرفته بود که توسط گرانویل ( Granville ) و ( Soundararajan ) پیدا شد و آن کوشش بی نتیجه باقی ماند . اما این بار گرانویل اعتقاد دارد با توجه به بررسی های انجام شده تلاشهای گلدستون و همکارانش درست است. گلدستون نیز طی مصاحبه ایی که با Mercury News انجام داده کار 20 ساله اش و تلاش ناموفقی را که داشت بیان نموده و ادعا کرده این بار کار او و همکارانش درست است.
همان طور که می دانید اعداد دو قلو اعداد اولی هستند که در دو واحد با هم اختلاف دارند به عنوان مثال جفت های 3 و 5 از جمله جفت اعداد دو قلوهستند. در واقع این جفت ها به صورت p و p+2 می باشند.
این نام اولین بار توسط پل استکر (1919-1892) به این اعداد داده شد.
هنگامیکه هنوز مسئله چگونگی توزیع اعداد اول دوقلو حل نشده بود وی بران اثبات کرد که مجموع معکوسات این اعداد حتی وقتی که تعداد آنها نامتناهی باشد به عدد خاصی میل می کند. این نتیجه به نام قضیه بران نامیده می شود و عدد B ثابت بران معروف است و تقریبا برابر با 1.902160583104 اسنت .جالب به نظر می رسد که بدانید محاسبات بسیار دقیق توماس نیکلی در سال 1995 برای یافتن ثابت بران باعث آشکار شدن یکی از مشکلات جدی میکروپروسسورهای اینتل شد.
باید توجه کرد که مجموع معکوسات کلیه اعداد اول همگرا نیست که این نتیجه حتی از حکم نامتناهی بودن اعداد اول نیز قویتر است. قضیه بران نشان می دهد که اعداد اول دوقلو در میان کلیه اعداد اول بسیار پراکنده اند.
اما ایا اعداد دوقلو نامتناهی هستند؟ حدس اعداد دوقلو بر این سوال پایه گذاری شده است تعدادجفت اعداد دوقلو نامتناهی هستند.
اگر چه این مساله بیش از صد ساله است که شناخته شده اما همچنان حل نشده باقی مانده است.هاردی و رایت (1979) با بررسی جزئیات این حدس آن را تصدیق نمودند. البته هاردی و رایت بیان نمودند که اثبات و یا رد این حدس از دسترس ریاضیات کنونی خارج می باشد.
اگر (1)p(n) , .... p دنباله ایی از همه اعداد اول باشند ، آیا تعداد نامتناهی n وجود دارد که تفاضل (p(n+1 و (p(n کمتر از مثلا 10 باشد؟ اگر بتوان این مساله را حل نمود می توان گامی اساسی در جهت حل حدس دو قلو برداشت. اساس اثبات گدستون بر همین پایه است ایده اثبات به این روش فرمول زیر است و در حقیقت پیدا کردن یک کران بالا یا مقداری برای D است.
[(D = lim infn → ∞ [{p(n+1) - p(n)}/log p(n
آنچه از نظریه اعداد اول دانسته می شود این است که D باید کمتر از یک باشد در سال 1926 هاردی و لیتل وود ( Hardy and Littlewood ) با شرط درست بودن فرضیه ریمان تعمیم یافته مقدار 2/3 برای D پیدا کردند ( فرضیه ریمان فرضیه ایی که بیان می کنند قسمت حقیقی کلیه ریشه های تابع زتا ی ریمان که دارای قمست حقیقی مثبت هستند برابر ½ است.) این روند ادامه پیدا کرد تا اینکه تقریبا دو سال قبل گلدستون و یلدریم نشان دادند که این مقدار مساوی صفر است البته همان طور که اشاره شد آن اثبات اشتباهی داشت که اکنون آن را تصحیح کرده اند.

[R A H A]

يك ويژگي جالب مثلث خيام- پاسكال

در اين مقاله ، نشان خواهيم داد كه در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند...
مطمئنا" همه ي شما با مثلث خيام - پاسكال آشنايي داريد و طرز ساخت آن را مي دانيد.بد نيست يادآور شويم كه در رديف n ام اين مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام رديف 1-n ام به دست مي آيد(1k ) .در اين جا،چند رديف از اين مثلث را آورده ايم :

در رديف n ام(...,3 ,2 ,1 ,0=n) اين مثلث،عنصر k ام(nو...و2و1و0=k) به صورت است.
براي اثبات اين موضوع ،ابتدا توجه مي كنيم كه براي ، داريم :.


اكنون با استفاده از رابطه ي (1) و به كمك استقرا ، لم اثبات مي شود.(جزئيات به عهده ي خواننده).
بنابراين مي توان مثلث خيام - پاسكال را به صورت زير در نظر گرفت:

قضيه:در مثلث خيام - پاسكال از رديف سوم به بعد ،هيچ دو عنصر مخالف با 1 در يك رديف ، نسبت به هم اول نيستند.
ابتدا توجه مي كنيم كه براي داريم :
مساله: آيا مي توانيد رابطه ي (2) را با يك بحث تركيبياتي اثبات كنيد.
حال نشان مي‌دهيم كه براي 0k>m داريم : .
فرض كنيم اين طور نباشد،يعني 1=() با توجه به رابطه ي (2)، عاد مي‌كند را .چون نسبت به هم اول اند. پس طبق لم اقليدس عاد مي‌كند را، ولي اين ممكن نيست چرا كه .
به اين ترتيب ، قضيه اثبات مي شود.

[R A H A]

ریاضی و نجوم






آموزش علوم ریاضی، بویژه حساب و هندسه و نجوم، برای حوزه های علوم دینی، به دلیل مناسبتی که این علوم با برخی از احکام فقهی دارند، بسیار اهمیّت دارد.
در طول سده های گذشته، صدها کتاب ارزشمند در این باره نوشته شده است. از مشهورترین متون درسی حوزه در زمینه علوم ریاضی، می توان به آثار خواجه نصیرالدین طوسی و مفتاح الحساب غیاث الدین جمشید کاشانی و خلاصة الحساب شیخ بهایی اشاره کرد.
خواجه نصیرالدین طوسی، از ریاضی دانان برجسته شیعی است. وی، بیشتر آثار ریاضی دانان یونان را بازنویسی کرد و آنها را در اختیار مراکز علمی گذاشت. از آن میان می توان به تحریر اقلیدس، الاکرلثاوذسیوس، اکرمانالاوس، ثاوذوتیوس، کتاب المفروضات لارخمیدس، تاوذوتیوس، مانالاوس و المعصیات لاقلیدس اشاره کرد(1).
در میان پسینیان، سید محمد علی شهرستانی (1280 - 1344ه.ق.) از فقهای نامدار شیعه، کتاب کنزالحساب را نوشت و مفتاح الحساب غیاث الدین را شرح کرد(2) و خلاصة الحساب پس از تأسیس مراکز آموزشی جدید کنار گذاشته شد.
در میان دانشهای ریاضی، حوزه ها به علم هیئت و نجوم بیشتر از شاخه های دیگر آن توجه کرده اند. خاندان نوبخت، از پیشگامان این دانش بودند. آل بویه، بویژه عضدالدوله، در ترویج آن بسیار کوشید و رصدخانه ای در بغداد ساخت و سرپرستی آن را به ابوسهل کوهی سپرد. در این زمانها منجمان از کتاب المجسطی اثر بطلمیوس (م:167م) استفاده می کردند. این کتاب بیش از یک هزار سال محور بحثهای ریاضی و نجومی بود. این سینا به تلخیص آن همت گماشت و آن را در ضمن تعالیم شفا گنجاند و ابن رشد، ابن السمح و ابن الصلت آن را تلخیص کردند.(3) و خواجه نصیرالدین طوسی آن را بازنویسی کرد.
مجسطی جزو نهایی ترین متون درسی حوزه بود و تحریر اصول اقلیدس که از کارهای دیگر خواجه بود، از آثار ابتدایی علوم ریاضی به شمار می رفت. خواجه به تهیه مجموعه ای به نام المتوسطات اقدام کرد که در بردارنده آثار دانشمندان یونانی، از جمله: اوتولیکوس، ارسطوخوس، اقلیدس، آپولونیوس، ارشمیدس، هیپسیکلس، تیودوزیس، مینلاتونس وبطلیموس بود.
البته باید توجه داشت که پیش از خواجه ابونصر منصوربن علی بن عراقی (م:427ه.ق.) و شاگرد وی، ابوریحانی بیرونی (362 - 440ه.ق.) کتابهای ارجمندی را در زمینه نجوم نوشته بودند و ظهور خواجه، این متون را از دور خارج کرد.
به طور قطع، در تاریخ حوزه های علمی جهان اسلام، کم کسی است که در حد خواجه طوس به دانشهای خالص و هیئت و نجوم خدمت کرده باشد.
او، افزون بر آثار علمی، رصدخانه مراغه را تأسیس کرد که نخستین مؤسسه مستقل در جهان اسلام است. تذکره خواجه الملخص فی الهیئه محمودبن محمدبن عمر چغمینی، شرح تذکره صغری، هیئت قوشچی و تشریح الافلاک و نیز هفتاد باب شیخ بهائی، کتابهای درسی حوزه در علم نجوم در طول سده های گذشته بوده اند.
از آخرین اساتید علوم ریاضی، می توان به نام علامه رفیعی قزوینی، میرزا محمد تقی مدرس رضوی، میرزا عبدالرحمن مدرس، سید حسن مشکان طبسی، میرزا ابوالحسن شعرانی و حسن زاده آملی اشاره کرد.

پینوشتها

1. (نصیرالدین الطوسی و آراؤه الفلسفیة والکلامیة)، هانی نعمانی 70/ - 104، دار احیاء التراث العربی، بیروت.
2. (اعیان الشیعه)، ج‏10/21.
3. (مقدمه ابن خلدون)، ترجمه محمد پروین گنابادی، ج‏2/1021، علمی و فرهنگی

[R A H A]

جهان ریاضی است

حکمت‌و فلسفه- دكتر محمد جهانشاهي:
معمولا در آموزش رياضي و روش‌هاي تفهيم و تدريس مفاهيم رياضي در سطوح مختلف آموزشي، معلمان و اساتيد با تجربه و ماهر سعي مي‌كنند كه از مفاهيم و مثال‌هاي ملموس در زندگي و طبيعت براي توضيح و تشريح و تفهيم مفاهيم رياضي استفاده كنند.
اما اين‌بار در اين نوشته مي‌خواهيم از رياضيات و مفاهيم والاي آن كمك بگيريم تا دايره شناخت و تصورمان را نسبت به ابعاد ديگر هستي و نوع ديگري از موجودات هستي كه مي‌توانند باشند وسعت دهيم و از اين رهگذر يك تحليل و توجيه علمي و رياضي براي خيلي از تصورات و حدس‌هايمان و حتي براي بعضي از اعتقادات كلي ديني‌مان و فلسفي ‌مان به دست آوريم.

هرچند كه هدف اين نوشتار سعي در توجيه و انطباق مسائل و اعتقادات ديني و مذهبي با نظريه‌هاي علمي و رياضي نيست؛ ولي براي كساني كه علاقه‌مند به داشتن نوعي تحليل علمي در اين مسائل هستند و از آن مهمتر به دنبال كشف ارتباط‌هاي علمي بين شاخه‌هاي مختلف علوم بشري مثل فلسفه، الهيات، عرفان و رياضيات و فيزيك هستند، مي‌تواند مفيد واقع شود.

يكي از مسائل و سؤالاتي كه عموما نوع بشر و خصوصا دانشمندان، به خصوص دانشمندان علوم طبيعي و فيلسوفان را به خود مشغول كرده است، شناخت بيشتر هستي و ابعاد آن و تعيين جايگاه و مرتبه انسان و زندگي او در عوالم هستي است. نظريه‌هاي مختلف علمي دانشمندان علوم طبيعي در گذشته و حال و منابع ديني و كتب آسماني اديان مختلف،‌ خصوصا كتاب آسماني ما مسلمانان قرآن مجيد، انسان را در شناخت و تصور بيشتر ابعاد هستي ياري داده‌اند.

اما، آنچه كه بعد از اين مقدمه به دنبال طرح آن هستيم استفاده از رياضيات و مفاهيم والاي آن براي توضيح و درك ابعاد هستي است. ايده‌هاي اصلي اين موضوع از مطالعه كتاب «ابرفضا» نوشته فيزيكدان ژاپني، ميچيو كاكو گرفته شده است.

فضاي يك بعدي همان خط راست( يا محور اعداد حقيقي) است. يك جسم يا موجود يك‌بعدي متعلق به اين فضا، فقط مي‌تواند حركت روبه جلو و عقب داشته باشد. فضاي 2 بعدي همان صفحه است كه شامل 2 مشخصه هندسي طول و عرض است. يك موجود 2بعدي برخلاف موجود يك بعدي علاوه بر حركت رو به جلو و عقب مي‌تواند به طرف راست و چپ نيز با هر زاويه‌اي و روي هر مسيري (نه لزوما مستقيم) حركت كند. فضاي خميده 2بعدي رويه يا سطح است كه بعدا به توصيف آن مي‌پردازيم.

فضاي 3بعدي (اقليدسي) همان فضايي است كه در آن زندگي مي‌كنيم كه شامل3 مشخصه طول و عرض و ارتفاع است در حالي كه مفهوم بالا و پايين براي يك موجود دو بعدي معنا ندارد و نمي‌تواند حركت رو به بالا يا رو به پايين داشته باشد؛ اما يك موجود 3بعدي، ضمن حركت رو به جلو و عقب و رو به راست و چپ، مي‌تواند در جهت بالا و پايين نيز حركت كند.

بايد توجه كرد كه موجود 2بعدي متوجه نقص و ناتواني خود در حركت رو به بالا و پايين نخواهد شد؛ زيرا اساسا حركت رو به بالا و پايين در فضاي 2بعدي معني ندارد. همچنان كه براي موجود 3بعدي در فضاي 3بعدي خود، تصور حركت غير از حركت مادي و معمول معني ندارد. اكنون به توصيف بيشتر موجودات 2بعدي و 3بعدي و نقش آنها نسبت به همديگر مي‌پردازيم. در بخش بعد نيز موجودات 3بعدي و 4بعدي (فرابعدي) را توصيف و نقش آنها را نسبت به همديگر بررسي خواهيم كرد.

در يك مثال روشن، موجودات(2بعدي) را مي‌توان همان خزنده‌هاي طبيعت خودمان تصور كرد. موجوداتي مثل مورچه‌ها و كرم‌ها و مارها كه نمي‌توانند بپرند و فقط مي‌توانند حركت جلو وعقب و چپ و راست داشته باشند. موجودات 2بعدي را مي‌توان با كشيدن يك دايره حول آنها، محصور و زنداني‌شان كرد.

در حالي كه اين موجودات مي‌توانند چيزهايي را از نگاه همنوعان خود كتمان كنند؛ ولي نمي‌توانند چيزي را از نگاه موجودات 3بعدي پنهان نگه دارند؛ زيرا موجودات 3بعدي به انحاي مختلف مي‌توانند در عالم موجودات2 بعدي هرطور كه بخواهند دخالت كنند. به عنوان مثال يك موجود 3بعدي مي‌تواند يكي از 2 بعدي‌ها را كه در داخل دايره محصور و زنداني هستند؛ به بيرون كشيده و از عالم 2بعدي‌ها خارج كند. اين كار براي همنوعان موجود 2بعدي امري خارق‌العاده و معجزه به نظر خواهد رسيد، در حالي كه براي موجود 3بعدي امري بديهي و عادي خواهد بود.

موضوع اين است كه اين كار(خارج ساختن 2بعدي‌ها به وسيله موجود 3بعدي )به چشم همنوعان 2بعدي چگونه ديده خواهد شد؟ بايد گفت كه اين كار به صورت لحظه‌اي بوده و موجود خارج شده از نگاه همنوعان آن غيب مي‌شود و اگر دوباره بخواهد برگردانده شود، آن هم لحظه‌اي، معجزه‌آسا خواهد بود. درست مثل باز شدن يك معكب(3 بعدي) به حالت 2بعدي .

موضوع ديگري كه بي‌ارتباط با بحث بعدي ما نخواهد بود، اين است كه موجودات 2 بعدي خود را در فضاي 2بعدي، در يك فضاي بيكران و نامحدود احساس مي‌كنند؛ ولي از نگاه يك موجود 3بعدي فضاي آنها محدود و از بين رفتني است.

درست مثل مورچه‌اي كه داخل يك گودال بسيار كوچك افتاده و مرتب تقلا مي‌كند كه خودش را از اين اقيانوس بيكران! به ساحل برساند. در حالي كه همين اقيانوس بيكران از نظر او مي‌تواند زير پاي ما له شود و از بين برود. همچنين موضوع ديگري كه مي‌توان در مورد موجودات 2بعدي و فضاي آنها مطرح كرد، بحث انحناي فضاست كه مرتبط با نظريه‌هاي پيشرفته فيزيك جديد است.

فرض كنيد تعدادي از موجودات2 بعدي را روي صفحه كاغذي بريزيم و اين صفحه كاغذ را انحناء و تاب دهيم ( يا حتي آن را مچاله كنيم) اين كار براي آنها خيلي محسوس نخواهد بود چون آنها محل خيلي كوچكي از فضاي خودشان را اشغال كرده‌اند و فضاي خود را به طور موضعي حس مي‌كنند و مشكل است كه قبول كنند عالم آنها پيچ خورده و مچاله شده است.

به عبارت ديگر فضاي 2 بعدي آنها از ديد خود آنها هميشه اقليدسي( صاف) است، در حالي كه براي موجودات 3بعدي فضا به طور موضعي اقليدسي ولي به طور سراسري نااقليدسي است و 3بعدي ‌ها اين موضوع را به طور بديهي مي‌پذيرند.

اكنون به توصيف موجودات 3بعدي و 4بعدي و نحوه ارتباط آنها نسبت به هم مي‌پردازيم.
بهترين مثال روشن براي تصور موجودات 3بعدي ما انسان‌هاي روي كره خاكي و براي تصور موجودات 4بعدي (فرابعدي) فرشتگان و ملائك، ارواح و كلا موجدات خداگونه‌اند.

همچنان كه در بخش قبلي گفته شد، موجودات 2بعدي مي‌توانند چيزهايي را از نگاه همنوعان خود مخفي نگهدارند ولي از نگاه موجودات 3بعدي نمي‌توانند چيزي را كتمان كنند، اينجا نيز موجودات 3بعدي مي‌توانند چيزها و پديده‌هايي را از نگاه همنوعان 3بعدي خود پنهان نگه دارند ولي نمي‌توانند ازنگاه 4بعدي‌ها مثل فرشتگان مأذون الهي كتمان كنند.

در واقع موجودات مجدد مأذون از خدا بر همه چيز و بر همه عالم ما مسلط هستند و همه گونه مي‌توانند در عالم 3بعدي مادخالت كنند. اشاره آيه قرآن كه مي‌فرمايد: انسان هميشه در محضر خداست و ما (خدا) از رگ‌هاي گردن او به او نزديك‌تريم.» در تفسيري مؤيد اين مطلب است.

موضوع بعدي كه در مقايسه با بخش قبل مي‌تواند مفيد واقع شود، بحث امكان حركت‌هاي غيرمادي در فضاي خارج از فضاي 3بعدي است. اين‌گونه حركت‌ها براي ما انسان‌هاي 3بعدي غيرقابل تصور و غيرممكن است. اما وجود اين نوع حركت‌ها در فضايي با ابعاد بالاتر نبايد به خاطر عدم امكان تصور فيزيكي ما از آنها،‌رد شود چرا كه مطابق نكاتي كه در بخش قبلي مطرح شد، حركت رو به بالا و پايين نيز براي موجودات 3بعدي غيرممكن و بي‌معني است ولي براي ما انسان‌ها امري بديهي و شدني است.

بنابراين از نقطه نظر علمي روايت‌ها و داستان‌هايي كه بعضا در منابع ديني و عرفاني ما آمده است، نه تنها در فضاي مربوطه عملي هستند بلكه براي خود آنها (موجودات خداگونه) امري بديهي و پيش پا افتاده است.

در آخر به بحث نظريه فيزيك در مورد انحنا و و پيچ خوردگي عالم 3بعدي، مي‌پردازيم. طبق نظريه‌هاي جديد فيزيك منشا نيروي گرانش در مقياس‌هاي كيهاني و كهكشاني ، جاذبه‌ اجسام و كرات نيست( مطابق فيزيك كلاسيك و فيزيك نيوتني منشا نيروي گرانش جاذبه كره زمين است) بلكه اين نيروها به انحنا و پيچ خوردگي عالم مربوط مي‌شود. در واقع طبق اين نظريه‌ها، عالم 3بعدي ما به طور موضعي اقليدسي (صاف) ولي به طور سراسري نااقليدسي است.

يك روش براي درك اين موضوع، يادآوري انحنا و پيچ‌خوردگي صفحه كاغذ مربوط به موجودات 2بعدي است كه قبلا مطرح شد. انحنا و تاب خوردگي صفحه كاغذ براي ما امري بديهي و به طور سراسري،‌ نااقليدسي بودن آن روشن است،‌ در حالي كه انحنا وپيچ خوردگي صفحه كاغذ براي ساكنان 2بعدي، قابل تصور نيست.

از طرفي خميدگي زمان به اين معناست كه گذر زمان در فضاي زندگي ما به طور خطي و اقليدسي است و زمان با سرعت يكنواخت و با رابطه خطي مي‌گذرد و تغيير مي‌كند. اين خاصيت گذر زمان نيز به طور موضعي خطي است ولي به طور سراسري و در ابعاد وسيع و مقياس‌هاي كيهاني، تغيير زمان غيرخطي است. اين موضوع به اتساع زمان موسوم است، يعني گذر زمان در فضاي خارج از ما مي‌تواند فشرده و انقباضي باشد. اين موضوع را نظريه نسبيت نيز تاييد مي‌كند.

منابع:
1 - مهدي فرشاد«تاريخ علم در ايران» مجموعه 2جلدي، انتشارات دانشگاه شيراز.
2 -هاورددايوز «آشنايي با تاريخ رياضيات» مجموعه 2جلدي انتشارات مركز دانشگاهي1367
3 - مرتضي مطهري«ده گفتار» انتشارات صدرا ، چاپ نشر پاييز 1369
4 -مرتضي مطهري« مقدمه‌اي بر جهان‌بيني اسلامي» انتشارات صدرا؛ 1367
5 - ميچيو كاكو« ابرفضا» ترجمه نادرجواني و محمدرضا مسرور، نشر اشراقيه 1382
6 - ميچيو كاكو و جنيفر تامسون« فراسوي اينشتين» ترجمه رضاخزانه، انتشارات فاطمي1382