تعريف چند ضلعي منتظم:

چند ضلعي که ضلعهاي آن با هم مساوي و زاويه هاي آنها با هم مساوي باشند.

به اطلاعات داده شده پيرامون اعداد چند ضلعي توجه کنيد.

اعداد چند ضلُظعي

اعداد چند ضلعي عددهايي هستند ، که با شکل چند ضلعي هاي منتظم ارتباط ويژه اي دارند.

ابتدا به اين جدول خوب دقت کنيد:

خواص رياضي اعداد چند ضلعي ، با مطالعه اين اشکال کشف شده اند. بحث درمورد عددهايي که به صورت چند ضلعي هستند شيرين اما مفصل است . ما در اينجا سعي مي کنيم با عددهاي چند ضلعي آشنا شويم . و در مورد برخي از آنها نيز فقط به يک خاصيت اشاره مي کنيم.

الف) عددهاي مثلثاتي : اگر چند دکمه يکسان داشته باشيد ، مي توانيد آنها را در کنار هم طوري قرار دهيد که تشکيل يک مثلث متساوي الاضلاع را دهند. به طوري که در سطر اول جدول مشاهده مي کنيد، در هر کدام از اين مثلثها فقط يک دکمه در راس قرار دارد. در هر يک از سطرهاي پايين نيز، هر سطر يک دکمه بيشتر از سطر بالاي خود دارد. پس شمار دکمه هاي به کار رفته در آنها را ، چپ به راست ، مي توان چنين به دست آورد:

...، ( 5+4+3+2+1)، ( 4+3+2+1) ، (3+2+1) ، (2+1) ، (1) و حاصل هر يک از آنها نيز عدد مثلثاتي نام دارد. پس سري اعداد مثلثي چنين خواهد بود:

...، 3،6،10،15،21،28،36،45،55،66،78،چ

در اينجا اگر شمار دکمه هاي واقع در يک ضلع مثلث معلوم باشد، تعيين مجموع دکمه هاي آن ساده است. کافي خواهد بود که آن را با تمام اعداد طبيعي متوالي کوچکتر از خود جمع کنيم. مثلا اگر تعداد دکمه ها در يک ضلع 5 تا باشد ، شمار کل دکمه ها 1+2+3+4+5 يعني 15 تا خواهد بود.

ب) عددهاي مربعي: اين بار دکمه ها را در سطرها و ستونهاي مساوي کنار هم قرار مي دهيم. تا يک مربع تشکيل شود. با توجه به شکلهاي مربوطه معلوم می گردد که تعداد دکمه ها در آنها به ترتیب مساوی باتوان دوم اعداد طبیعی 1و2و3و4و... خواهد بود.

در اینجا با معلوم بودن شمار دکمه ها در یک ضلع، تعداد کل آنها در مربع معلوم خواهد بودو اعدادمربعی عبارت از توان دوم اعداد طبیعی متوالی است که عبارتند از :

144و1و5و12و22و35و51و70و92و117و100و121

ج)عددهای به صورت پنج ضلعی: با یک نظریه به سومین سطر از جدول متوجه می شوید که اعداد مخمسی نیز عبارتند از :

176و145و117و92و70و51و35و22و12و1و5و...

ریاضیدانان محاسبه کرده اند که در اینجا نیز با معلوم بودن شمار دکمه ها در یک ضلع تعداد دکمه های به کار رفته در کل آن معلوم می گردد، کافی است، شمار دکمه هایی را که در یک ضلع واقعند به توان دوم برسانید و آن را با تمام اعداد طبیعی و متوالی پایین تر از خود جمع کنید. مثلا محاسبه ی دکمه های به کار رفته در آخرین پنج ضلعی جدول چنین است : 1=2+3+4+52، که مساوی 35 می شود. و هر گاه بخواهیم یک عدد مخمسی پیدا کنیم که یک ضلع شامل 8 واحد شود باید چنین کنیم:

1+2+3+4+5+6+7+82 که حاصل 92 می شود.

د) اعداد شش ضلعی: اعداد شش ضلعی نیز با توجه به شکل عبارتند از:

...و 231و 190و153و120و91و66و45و28و15و6و1

در اینجا نیز هر عدد به صورت شش ضلعی برابر است با تعداد واحدهای آن در یک ضلع به اضافه ی چهار برابر عدد مثلثی ردیف قبل از آن . به عنوان مثال در آخرین شکل مربوط به شش ضلعی در یک ضلع 5 دکمه وجود دارد . می دانیم که چهارمین عدد مثلثی 10 است. پس می توان نوشت : 10*4+5 که نتیجه 45 دکمه می شود.