بررسی اصل هم ارزی اینشتین و انتقال گرانشی امواج الکترو مغناطیسی
چکیده
دراین تحقیق با استفاده از قضیه کار انرژی ( کارخالص نیروهای وارد برهر ذره برابر است با تغییر انرژی جنبشی آن ذره ) و نسبت دادن جرم نسبیتی M مطابق با رابطه E=mc2 به ذارت فوتون در میدانهای گرانشی و تعریف انرژی پتانسیل U مطابق با رابطه ∆U=-W برای ذرات فوتون می توان نشان داد که در هر مسیر رفت یا برگشت مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی ذرات فوتون K+U مقداری ثابت است از این روی از رابطه k1+U1=K2+U2 می توان تغییر طول موج فوتون را براثر گرانش ( انتقال گرانشی طول موج ) محاسبه کرد . از فرمولهای کلی بدست آمده می توان با تقریب ، انتقال گرانشی طول موج را که اینشتین از روی اصل هم ارزی محاسبه کرده بود بدست آورد و نشان داد که فرمولهای اینشتین ، تقریبی از این فرمولهای کلی است . از طرفی این روابط کلی انتقال گرانشی در اطراف یک سیاه چاله را بخوبی تفسیر می کند و حتی می توان شرایط تشکیل ماده تاریک را توضیح داد .
مقدمه :
یکی از نتایج اصل هم ارزی محاسبه انتقال گرانشی طول موج نور ( یا هر تابش الکترومغناطیسی ) در میدانهای گرانشی است . بهمین خاطر در قسمت اول این مقاله در ابتدا سعی شده است ، که خود این اصل و نتایج آن معرفی شود . پس از آن در قسمت دوم ، مشابه کار اینشتین از روی انتقال دوپلری و اصل هم ارزی ، انتقال گرانشی طول موج امواج الکترومغناطیسی را بدست می آوریم . در قسمت سوم روابطی کامل تر را از روی این حقیقت که مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل فوتونها ( K+U) در میدانهای گرانشی مقداری ثابت است بدست می آوریم که نتایج اینشتین حالت تقریبی از این فرمولها کلی است . در قسمت چهارم روابط انتقال گرانشی اینشتین را از روی این روابط کلی بدست می آوریم و در قسمت پنجم تغییر طول موج گرانشی در اطراف سیاه چاله ها و شرایط تشکیل ماده کاملا تاریک را ارائه می دهیم و در قسمت پنجم انتقال دوپلری در اتاقک شتابدار را با استفاده از پایستگی انرژی مکانیکی فوتونها بدست می آوریم .
قسمت اول – بیان اصل هم ارزی و معرفی پایستگی انرژی مکانیکی فوتونها
در ابتدا قبل از بیان مطالب اصلی مقاله ناچاریم بار دیگر به بیان اصل هم ارزی اینشتین و نتایج آن بپردازیم . این مرور تصویری روشن از واقعیتهای پنهانی ارائه می دهد ، که مدتهای مدیدی است از دیده ها پنهان مانده است .
برای این منظور به اوایل قرن بییستم باز می گردیم ، هنگامیکه دانشمند نابغه ، آلبرت اینشتین در اداره ثبت اختراعات نشسته بود و در ذهن خود می کوشید که تصور کند که چطورمی تواند به یک باریکه نور برسد ، در همین حین فکر بسیار جالبی به ذهنش رسید : اگر کسی بصورت آزاد سقوط کند وزن خود را احساس نخواهد کرد. همین فکر ساده باعث شد که یک نظریه گرانشی را مطرح کند .
برای این منظور شخصی را در نظر گرفت که در دو حالت در حال سقوط آزاد است ، در حوزه گرانی زمین و در فضای میان ستاره ای که در آن میدان گرانشی بسیار ضعیف است ، در هر دو مورد شخص در یک اتاقک منزوی است نمی تواند اشیای خارج را ببیند و پی به حرکت اتاقک ببرد . در داخل اتاقک این دو حالت دقیقا هم ارز هم است و هیچ دستگاه اندازه گیری که کاملا در داخل اتاقک قرار دارد نمی تواند دو حالت را از هم تمیز دهد . شتاب a=g با شتاب صفر در یک میدان گرانشی ناچیز هم ارز است . به نظر می رسد که شتاب می تواند آثار یک میدان گرانشی را ازبین ببرد . حال گامی فراتر می نهیم و می پرسیم آیا شتاب می تواند آثار یک میدان گرانشی را تولید کند ؟
دو حالت را در نظر می گیریم در یک حالت ناظر در حوالی زمین ساکن است ، که در آنجا میدان گرانشی برابر است با g . در حالت دیگر ناظر در فضای تهی قراردارد که در آنجا میدان گرانشی تا حد چشم پوشیدنی کوچک است ، اما موتورهای موشک طوری روشن شده اند که شتاب اتاقک برابر a=-g باشد . آزمایشهای متفاوتی در دو اتاقک انجام می گیرند : یک ترازو وزن ناظر ( در واقع ، نیروی عمودی بین ناظر و ترازو ) را نشان می دهد ، یک توپ به زمین می افتد ، وزنه ای یک فنر را می کشد ، و یک آونگ ساده نوسان می کند همه آزمایشها در دو اتاقک به نتایج یکسانی ختم می شوند . در اینجا ، آزمایشی وجود ندارد که بتوان در داخل اتاقک انجام داد و بین دو حالت فرق گذاشت .
این موضوع به اصل هم ارزی می انجامد : هیچ آزمایش محلی وجود ندارد که با انجام آن بتوان تا بین آثار یک میدان گرانشی یکنواخت دریک چارچوب مرجع بدون شتاب ، و آثار یک چارچوب مرجع شتابدار ( نالخت ) فرق گذاشت .
اینشتین پی برد که اصل هم ارزی نه تنها در مورد آزمایشهای مکانیکی ، بلکه در تمام آزمایشها ، حتی آزمایشهای مبتنی برتابش الکترو مغناطیسی بکار می رود . حال در یک آزمایش اگر تغییر طول موج واقعی چشمه نور را در یک اتاقک شتابدار برای ناظری که طول موج تغییر یافته را دریافت می کند بدست بیاوریم ( که اصطلاحا به آن انتقال دوپلری گفته می شود ) با استفاده از اصل هم ارزی می توانیم انتقال دوپلری را به یک میدان گرانشی تعمیم دهیم . در این حالت تغییر در طول موج نور را براثر گرانش اصطلاحا انتقال گرانش طول موج می نامند .
پس از این مرور کلی حال از خود می پرسیم علت واقعی اصل هم ارزی چیست ؟ آیا فقط از روی آزمایشهای یکسان در دوحالت می توان پی به این اصل برد ؟ یا ذرات در دو حالت دارای خواص یکسانی هستند که منجر به چنین وضعیت های یکسانی می شود ؟ و یا می توان با اثبات یک علت یکسان و اساسی در دوحالت این اصل را تا مرحله قانون هم ارزی ارتقا داد ؟ و یا حضور ماده در میدانهای گرانشی معمولی بصورت بسیار جرئی نتایج را کمی متفاوت می کند ( منظور از ماده ، جرم اصلی است که شتاب گرانشی لازم را فراهم می کند ) .
در این تحقیق متوجه شدم که با استفاده از نسبت دادن جرم mبه فوتونها طبق رابطه نسبیتی E=mc2 برای فوتونهایی که با سرعت نور حرکت می کنند می توان در دوحالت به فرمولهای کلی رسید ، که در حالت انتقال دوپلری فرمول کلی بدست آمده با استفاده از اصل پایستگی انرژی مکانیکی ذرات فوتون ، انطباق کامل با انتقال دوپلری حاصل از محاسبات معمول (روابط انیشتن ) که از روی اصل هم ارزی نتیجه گیری شده است دارد ، در واقع روابط معمول حالت خاص و تقریبی از فرمول کلی بدست آمده با استفاده از پایستگی مکانیکی ذرات فوتون در میدانهای گرانشی است ، این تقریب در نزدیکی جرم های معمولی که مانند سیاه چاله ها به حد شعاع بحرانی خود نرسیده اند به مقدار برآورد شده از روی اصل هم ارزی بسیار نزدیک است .
قسمت دوم – محاسبه انتقال دوپلری در اتاقک شتابدار و انتقال گرانش در میدانهای گرانشی ( با استفاده از روش انیشتن )
در این مقاله ابتدا با مرور نحوه محاسبه فرمول انتقال دوپلری اینشتین ، در اتاقک شتابدار با شتاب a و استفاده از اصل هم ارزی برای فرمول متناظر در انتقال گرانشی ، تصویری روشن از محاسبات معمول در این زمینه ارایه می دهیم ، سپس با استفاده از پایستگی مکانیکی ذرات فوتون هر دو فرمول مربوطه را در حالت کلی بدست می اوریم و ملاحظه می کنیم که انتقال گرانشی بدست آمده از اصل هم ارزی در واقع حالت تقریبی از این فرمول کلی است .
s

a

مطابق شکل ( اول ) در بالای اتاقک یک چشمه نور تعبیه شده که نوری با بسامد f گسیل میکند در پایین اتاقک و در فاصله D از آن ، یک آشکار ساز قرار دارد که موج را مشاهده می کند و بسامد آنرا اندازه می گیرد ، وقتی موج نور در اتاقک شتابدار گسیل می شود ، چشمه دارای سرعت u است ، که فرض می کنیم در مقایسه با سرعت نور c کوچک باشد ، وقتی این موج پس از زمان آشکار شود ، کف اتاقک با سرعتu+at حرکت می کند ،
در واقع سرعت نسبی بین چشمه و
آشکار ساز باعث انتقال دوپلری در
بسامد می شود که از رابطه زیر بدست می آید ( اثبات این فرمول در مبحث نسبیت خاص بطور مشروح ذکر شده است )
d




m

f بسامد واقعی و بسامدی که آشکار
ساز اندازه می گیرد.

یا برحسب اختلاف بسامد داریم:
رابطه A

اکنون نتیجه این آزمایش را با آزمایشی مقایسه میکنیم که در اتاقکی ساکن در یک میدان گرانشی یکنواخت g انجام شده ، اینشتین بنابه اصل هم ارزی استدلال کرد که نتیجه دو آزمایش یکی است ( بعدا می فهمیم که حضور ماده ای که شتاب گرانشی را فراهم میکند در مورد اجرام معمولی با این مقدار محاسبه شده از روی اصل هم ارزی ، تفاوتی به مقدار بسیار جزئی دارد ) پس انتقال بسامد رابطه A با شتاب a=g بصورت زیر است :
(جرمM مثلاً جرم زمین )رابطه B
در سال 1959 امکان سقوط فوتونهایی در یک طول موج مشخص از بالای برج هار وارد فراهم شد تغییر بسامد آشکار شده توسط آشکار ساز با دقت بسیار بالایی با مقدار پیش بینی شده توسط رابطه B برابر بود . برای فوتونهایی که در حال گریز از میدان گرانش جرم M هستند انتقال بسامد از رابطه زیر محاسبه می شود .
)C رابطه (
فرمول فوق از طریق اختلاف پتانسیل گرانشی چشمه و آشکار ساز بدست می آید ، که در اکثر کتابهای فیزیک مدرن در قسمت مربوط به اصل هم ارزی و انتقال گرانشی محاسبه می شود ( برای اطلاعات بیشتر به کتاب فیزیک مدرن تالیف کنت اس کرین ترجمه منیژه رهبر و بهرام مهلمی مراجعه شود .)
قسمت سوم – محاسبه انتقال گرانش طول موج با استفاده از پایستگی مکانیکی فوتونها
حال برای محاسبه تغییر طول موج با استفاده از پایستگی انرژی مکانیکی ذرات فوتون در میدانهای گرانشی بصورت زیر عمل می کنیم :
ابتدا بدون توجه به محل آشکارساز فرض می کنیم که چشمه تابش در فاصله R1 از مرکز گرانش و آشکارساز در فاصله R2 از آن مرکز گرانش قراردارد و یک فرمول کلی را بدست می آوریم ، سپس از این فرمول کلی دوحالت را در نظر می گیریم ، در حالت اول فرض می کنیم که چشمه تابش ما بین آشکار ساز و مرکز گرانش قرار دارد و آشکارساز طول موج فوتونهای در حال گریز از میدان گرانشی را اندازه می گیرد و در حالت دوم فرض می کنیم که آشکارساز ما بین مرکز گرانش وچشمه تابش قرار دارد و طول موج سقوط فوتونها بسمت مرکز گرانش را ثبت می کند .
حال اگر از روش پایستگی انرژی مکانیکی فوتونها در میدانهای گرانشی بخواهیم مقدار تغییر طول موج را محاسبه کنیم قبل از هر چیز ممکن است این سوال پیش آید ، که موارد نسبیتی مانند اتساع زمان ، یا انقباض طول و یا انرژی جنبشی نسبیتی چگونه لحاظ می شود ؟
بایستی توجه کرد که چون جایگاه فوتونهای گسیلی از چشمه نسبت به جایگاه ثانویه آن ( آشکارساز ) مدنظر است ، لذا برای هر فوتون این دو جایگاه منحصر بفرد و ثابت است ، یعنی حتی اگر چشمه حرکت کند ، انتقال گرانشی فوتون نسبت به جایگاه اولیه آن سنجیده می شود پس با ثابت بودن چشمه و آشکارساز در هر بار گسیل فوتون اتساع زمان دوپلری رخ نخواهد داد ، از طرفی چون بغیر از آشکار ساز ناظر دومی وجود ندارد لذا انقباض طول که برای ناظردوم رخ می دهد در اینجا برای آشکارساز بی معنی است ، مگر در موارد مربوط به نسبیت عام و خمیدگی زیاد فضا زمان در اطراف جرم گرانشی که شتاب لازم را فراهم می کند که در اینصورت بایستی ملاحظات نسبیتی را نیز مدنظر قرار داد .
در مورد انرژی جنبشی با دادن مقدار E = K=PC و در مورد انرژی پتانسیل ، جرم نسبیتی m مطابق با رابطهE = mc2 در رابطه مربوطه قرار داده می شود
حال فرض می کنیم که فوتون تحت تاثیر یک نیروی پایستار نظیر گرانش قرار دارد رفتار ذره ای فوتونها تحت تاثیر نیروی پایستار گرانش ایجاب می کند که انرژی مکانیکی فوتونها در طول مسیر ثابت بماند K1+U1=K2+U2 بعلت اینکه سرعت فوتونها C ثابت است این تغییر در انرژی کل یا انرژِی جنبشی به صورت تغییر در طول موج رخ می دهد . انرژی پتانسیل فوتون از رابطه بدست می آید که در آن m. جرم مرکز گرانش وm جرم نسبیتی فوتون و Rفاصله چشمه تابش فوتون از مرکز گرانش است حال طبق رابطه E=Pc=mc2 می توان جرم نسبتی فوتون را متناظر با اندازه حرکت محاسبه کرد .

داریم K1+U1=K2+U2 از رابطه



Dرابطه اصلی
اگر مثلاً چشمه گسیل فوتون سطح یک ستاره که شعاع آن R1 است باشد و آشکارساز به فاصله D از سطح ستاره مزبور قرار داشته باشد و R2 فاصله آشکارساز روی سطح زمین تا مرکز ستاره مزبور باشد با توجه به شکل دوم داریم :
َo

چشمه

آشکار ساز

َh

َA

AH=D AO=R2
OH=R1
( Mo جرم ستاره یا هر جرمی که فوتون از میدان گرانش آن می گریزد )
R2=D+R1 D از رابطه





Eرابطه
حال اگر در طرف مرکز جرم قرار داشته باشیم مثلا روی سطح زمین به فاصله R2 برابر شعاع زمین باشیم و فوتونها از طرف یک ستاره یا هر چشمه دیگر به فاصله R1 از مرکز جرم زمین به طرف ما گسیل شودبا توجه به شکل سوم داریم :
داریم: D از رابطه

چشمه

آشکار ساز


O'

O

H

A








رابطه f
قسمت چهارم
بدست آوردن روابط انتقال گرانشی اینشتین ازروی روابط کلی بدست آمده
اگر به رابطه E یعنی توجه کنیم ملاحظه می کنیم اگر فوتونهای گسیلی از چشمه ، مثلا سطح یک ستاره به اندازه کافی از مرکز گرانش ستاره دور شوند مثلا بوسیله یک آشکارساز در سطح زمین دریافت شوند مقدار شعاع ستارهR1 خیلی کمتر ازمقدار D خواهد بود لذا رابطه مربوطه به این صورت خواهدشد :

اما برای زمین وخورشید و اجرامیکه مقدار R1C2(R1 شعاع جرمی که میدان گرانش را ایجاد می کند ) خیلی از مقدار Gm بیشتر است می توان با تقریب از مقدار بسیار جزئی Gm چشم پوشید و داریم :

این رابطه همان رابطه C است که اینشتین از روی اصلی هم ارزی توانسته بود انتقال گرانش فوتون را درفراراز مرکز جرم نظیر خورشید یا ستاره های دیگر بصورت تقریبی محاسبه کند . برای رابطه F نیز بصورت تقریبی به رابطه B می رسیم یعنی وقتیکه مثلا آشکارساز بر سطح زمین به شعاع R2=R1-D قرار دارد اگر فاصله چشمه ازسطح زمینDنسبت به فاصله آن ازمرکز جرم زمین R1 خیلی کم باشد داریم :

اما در مورد زمین R2C2>>Gm. لذا داریم

که همان رابطه B است .
قسمت پنجم – تغییر طول موج گرانشی در اطراف سیاه چاله ها
در اطراف جرمی که فضا زمان به اندازه کافی خمیده است ( مثلا سیاه چاله ها ) نور کوتاهترین مسیر را طی می کند ، لذا اگر رابطه اصلی را برای چنین جرمی حل کنیم ف مطابق روابط کارل شوارتس شیلد برای یک جسم کروی ، جزء شعاعی در بی نهایت خواهد شد ، و رابطه تغییر طول موج براثر گرانش در فرار و سقوط فوتونها از مرکز جرم M بصورت زیر خواهد بود :
ربطه G



ربطه h



به ازای مقدار به سمت بی نهایت میل می کند . به نظر می رسد که فوتونهای گسیلی از چشمه با نزدیکترین شدن به شعاعR1 ( همان شعاع شوارتس شیلد ) به طول موجهای بلندترمنتقل می شود که در r=rs انتقال به سرخ بی نهایت می شود و جسم ناپدید می شود این موضوع کاملا با پیش بینی های نسبیت عام سازگاری دارد زیرا بنابه پیش بینی نسبیت عام برای ناظرخارجی که جسم سقوط کننده را مشاهده می کند با سقوط جسم کار ساعتهای آن کند به نظر می رسد و وقتی جسم به r=rs می رسد کاملا متوقف می شود به نظر می رسد که جسم در آن مکان منجمد شده است ، وقتی جسم سقوط می کند نورگسیل شده از آن به صورت فراینده به سرخ منتقل ودر r=rs انتقال به سرخ بی نهایت می شود .
به طوری که جسم ناپدید خواهد شد . اگر به فرمولهای مربوطه برگردیم می بینیم در r=rs چون میل می کند پس میل می کند به همین خاطر ناظر خارجی تصور می کند که جسم در r=rs کاملا متوقف شده است . اما بعد از ان چه رخ می دهد . انگار در r < rs نسبیت عام قطعیت خودرا از دست می دهد گویی که نمی توان بطور قطع گفت که در داخل سیاه چاله چه رخ می دهد . یک پیش بینی اینست که جسم در حال سقوط هر لحظه با یک بحران مواجه می شود . در داخل یک سیاه چاله جرم محصور که می تواند یک چشمه گسیل نور باش راه فرارندارد . زیرا حتی نور نمی تواند از گرانش قوی مرکز جرم بگریزد و سرعت فرار از سرعت نور تجاوز می کند . حال این سوال مطرح است که آیا سیاه چاله می تواند چشمه تابش موج باشد . برای درک بهتر به فرمول G بر می گردیم در فرمول مربوط وقتیکه Rc2<2Gm باشد مخرج منفی است ، اگر سرعت فوتونها افزایش نیابد سیاه چاله بایستی طول موجهای کوتاهتری گسیل کند . اگر سیاه چاله را جرمی فرض کنیم که سرعت فرار از محدوده rs بیشتر از سرعت نور باشد لذا برای ارسال طول موجهای کوتاهتر بایستی آهنگ کاهش شعاع از آهنگ افزایش سرعت فوتونها بیشتر باشد . در غیراینصورت ممکن است که سیاه چاله در داخل rs امواجی با طول موج بلند تر از طول موج اصلی گسیل کند ، که من براین اعتقادم که در داخل rs چنین فرض امکان ندارد . از طرفی بعضی شواهد تجربی که بطور صریح تایید نشده است حاکی از تابش امواج کوتاه و قوی پرتو X از اعضای سیستمهای مزدوج است که در آن یک جسم معمولا یک ستاره مرئی حول یک همدم پر جرم نامرئی دور می زند . پرتوهای x از موادی سرچشمه می گیرند که سیاه چاله ( ستاره نامرئی ) از ستاره مرئی جذب کرده است؛ ماده گرم می شود و در سقوط به طرف سیاه چاله پرتوهای x گسیل می کنداگرجرم M تا نقطه تکنیکی R=0 متراکم شود در این صورت مطابق بارابطه E مقدار خواهد شد و این به معنای آنست که جسم مورد نظر هیچ طول موجی را گسیل نمی کند که جرم M اصطلاحا به یک نقطه تاریک تبدیل خواهد شد .

در سایر شرایط که R>0 باشد ، ممکن است امواجی بسیار کوتاه گسیل شود ، لذا برای آنکه جسمی به صورت مطلق تبدیل به ماده تاریک شود ، بایستی R=0 باشد .
در مورد ماده تاریک و وجود آنها بررسی های اخیر نشان می دهد که سرعتهای مماسی ستارگان در هر کهکشان و یا سرعت های چرخشی کهکشان در خوشه های کهکشانی از قوانین کپلر ، که با افزایش شعاع سرعت های مربوطه کاهش می یابد پیروی نمی کند برای این توجیه بایستی مقدار بسیار زیادی ماده نامرئی و تاریک در کهکشانها و یا خوشه های کهکشانی موجود باشد تا نیروی گرانشی لازمه را تامین کند و موجب شود سرعت مماس ثابت و یا کمی افزایش یابد و همچنین خود انها هیچ گونه نور یا تابش الکترومغناطیسی دیگر گسیل نکند .
قسمت ششم – محاسبه انتقال دوپلری در اتاقک شتابدار ( شکل اول)بااستفاده از پایستگی انرژی مکانیکی فوتونها
مانند قسمت دوم در یک اتاقک شتابدار با شتاب Aچشمه S به سمت یک آشکارساز که به فاصله Dاز آن در پایین اتاقک قرار دارد فوتون گسیل می کند حال اگر از رابطه پایستگی انرژی مکانیکی فوتونها استفاده کنیم داریم :

که r1 فاصله فوتون از جایگاه اولیه ( r1=0 ) و r2 فاصله ثانویه فوتون از چشمه ، در نقطه ای که آشکارساز آنرا دریافت می کند ( r2=D) لذا داریم :