یادگیری گام به گام حد

تاریخچه:

ریاضی دانان حتی قبل از این که بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند در مورد آن بحث میکردند . یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشتنه اند .

مثلا ارشمیدس مقدر تقریبی 2پی را بااستفاده از محیط چندضلعی ها منتظم محاط در دایره به شعاع واحد وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست آوردن.در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای به دست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتون و لابنیس در قرن هفدهم درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند اما نه آنها و نه در آن قرن دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال آلبمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه ی منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حد است کشی شوارتس در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را ارائه داد:


((وقتی که مقادیر متوالی که به یک متغیر نسبت داده میشود بی نهایت به عدد ثابتی تزدیک شوند به طوری که اختلاف آنها از مقادیر ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد.این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر میگویند.))


اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت.

تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دقیق حد را مطرح کرد که همواره مورد استناد ریاضی دانان است.

حدود عددی:

هنگامی که میگوییم حد تابع (f (x در نقطه ای به طول A برابر L است بدین معنا است که اگر X در یک همسایگی محذوف متقارن عدد A به شعاع مقدار بسیار کوچک و مثبت دلتا قرار خوهد گیرد (f (x در یک همسایگی متقارن L به شعاع مقدار بسیار کوچک و مثبت اپسیلن قرار خواهد گرفت و دراین راه برای هر اپسیلن دلخواهی دلتا بدست خواهد امد.

بنابراین در تعریف حد X همواره یک عدد حدی است اما جواب حد با یک عدد حدی است و یا یک عدد مطلق است (توابع ثابت و جزء صحیح)

حدود یکطرفه :

منظور از حد راست F در یک نقطه به طول A آن است که X از سمت مقادیر بیشتر از A به A میل میکند و منظور از حد چپ F در نقطه ای به طول A آن است که از سمت مقادیر کمتر ازA به A میل کند.

تابع F به شرطی در A حد دارد که اولا حد چپ و راستش در A تعریف شده باشد یعنی X بتواند از دو طرف به A میل کنند ثانیا حد چپ و راستش در A برابر باشد.

جهش تابع : L1 - L2

هر جا قدر مطلق دیدیم آن میشکانیم و به یک تابع دو ضابطه ای در میآوریم به طوری که برای X های مثبت با علامت مثبت و برای X های منفی با علامت منفی و سپس به عدد A میل میدهیم.


میخواهیم ببینیم همسایگی جواب حد چیست ( چه L؟ )

الف: توابع خطی: هنگامی کهX به سمت ریشه عبارت می رود بهترین راه تجزیه عبارت است.

ب: توابع کسری : در اینجا صو رت کسر را به مخرجش تقسیم کرده و کسر را تفکیک میکنیم divide & distinguish
به طوری که اگر صورت را f و مخرش را g بنامیم خارج قسمتی به نام k و باقی مانده ای با نام r به ما میدهد. که برای تفکیک آن چنین عمل میکنیم :

f/g = k + r/g

ج: توابع مثلثاتی : قضاوت از روی صعودی یا نزولی بودن نسبت مثلثاتی است .
اگر نسبت مثلثاتی صعودی باشد کمان و نسبت باهم حرکت میکنند و اگر نزولی باشد کمان و نسبت عکس هم حرکت میکنند.

(cos (x : ربع اول و ربع دوم نزولی . ربع سوم و ربع چهارم صعودی است.
(sin (x : ربع دوم و ربع سوم نزولی. ربع اول و ربع چهارم صعودی است.
(tan (x : در هر چهار ربع مثلثاتی صعودی می باشد.
(cot (x : در هر چهار ربع مثلثاتی نزولی می باشد.

نتیجه :

در موارد زیر استفاده از حد چپ و راست الزامی است:

1. توابع رادیکالی فرجه زوج: هنگامی که Xبه سمت ریشه زیر رادیکال می رود.
2. توابع کسری: هنگامی که X به سمت ریشه مخرج می رود که ریشه صورت نیست.
3. توابع قدر مطلق: هنگامی که X به سمت ریشه داخل قدر مطلق می رود.
4. توابع جزءصحیح: هنگامی که X به سمت عدد صحیح کننده داخل براکت می رود.

نکات:

1. اگر حد یک تابع کسری در نقطه ای به طولa بینهایتی باعلامتی مشخص شود نشان میدهد که ریشه مضاعف مخرج بوده است که ریشه صورت نیست. یعنی A هم درمخرج تابع صدق میکند و هم در مشتق مخرج آن تابع.

2. ریشه مضاعف هر عبارت ریشه ساده آن عبارت است یعنی هم آن عبارت را صفر میکند و هم مشتق آن عبارت را.

3. در حدود قدر مطلق و جزءصحیح قانون کلی ورشدار و بگیر است یعنی ابتدا می بایست در همسایگی چپ یا راست تکلیف قدر مطلق و یا جزء صحیح را روشن کنیم و قدر مطلق یا جزءصحیح را برداریم سپس اقدام به گرفتن حد نماییم

صور مبهم : صفر/صفر


صفر = صفر حدی / صفر مطلق

بی معنی= صفر مطلق / صفر حدی

بی معنی= صفر مطلق / صفر مطلق

مبهم = صفر حدی / صفر حدی

اکنون به بررسی صفر حدی / صفر حدی می پردازیم :

1. استفاده از فاکتور گیری و تجزیه: در اینجا صورت و مخرج را تجزیه میکنیم و عوامل مشترک را حذف میکنیم.

2. استفاده از هم ارز بی نهایت کوچک : این هم ارز مخصوص هنگامی است که X به صفر میل می کند و برای اجرای آن کوچکترین درجه صورت را بر کوچک ترین درجه مخرج تقسیم می کنیم.

اگر درجه صورت بزرگتر از درجه مخرج باشد جواب حد صفر مطلق است.
اگر درجه صورت کوچکتر از درجه مخرج باشد جواب حد بینهایت است .
اگر درجه صورت و مخرج با هم برابر باشد جواب حد کسری از ضرایب X ها میشود.

نکته : میتوان در حدود عددی غیر صفر با تغییر متغیر حد عددی صفر ایجاد کرد و از هم ارز بینهایت کوچک استفاده کرد.

به طوری که : در ( lim f(x) = lim f( t+a وقتی X به سمت a میل میکند. x - a = t در نتیجه x = t + a و X به سمت صفر میل میکند.

3. قاعده hopital : در این قاعده به جای انکه حد صورت بر مخرج را محاسبه کنیم حد مشتق صورت را بر مشتق مخرج بدست می آوریم و این کار را تا جایی انجام میدهیم که در حدود صفر / صفر حداقل یکی از صفر ها یا یکی از بینهایت های صورت یا مخرج از بین میرود.

نکته: متغیر در حد عاملی است که میل میکند و هر چه به غیر از آن عدد ثابت محسوب می شود در قاعده هوپیتال از صورتو مخرچ نستب به متغیر مشتق میگیریم.

هوپیتال سازی:

در حالات ابهام :"صفر در بینهایت" و "بینهایت منهای بینهایت " نیز میتوان از هوپیتال استفاده کرد به شرطی که آنکه در ابتدا عبارت را به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت در آوریم.

در حالت "صفر در بینهایت" میتوانیم یکی از عبارات را معکوس کنیم تا عبارت به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت تبدیل شود.

در حالت "بینهایت منهای بینهایت" میتوانیم مخرج مشترک بگیریم تا عبارت به صورت صفر / صفر یا بینهایت / بینهایت تبدیل شود.

و سپس در هر دو حالت میتوان از قاعده هوپیتال استفاده کرد.

استفاده از هم ارزی های مبهم مثلثاتی:

دو تابع را در نقطه ای هم ارز گویند که هر گاه حد نسبتشانA دربرابر 1 شود یعنی در حد هنگامی Xکه به سمتA میل میکند می توان به جای یکی از این توابع دیگری را قرار داد.

جدول هم ارزی ها اصلی به قرار زیر است
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.333.gif




نکته : تنها جایی که از هم ارزی به هر شکل نمی توان استفاده کرد هنگامی است که پس از استفاده از هم ارزی عوامل حذف شوند و صفر باقی بماند که در مورد هم ارزی های مثلثاتی میتوان از هم ارزی های گروه 2 یا هم ارزی های ویژه یا هم ارزی های قوی و یا هم ارزی های گروه 2 مکلورن استفاده نمود .


اکنون به بیان هم ارزی های ویژه در هنگامی کهX یا U به صفر میل میکند میپردازیم:

http://minag.persiangig.com/image/riyazi.gif


نکته : هنگامی میبایست از هم ارزی گروه 2 استفاده نمود که هم ارزی گروه 1 جواب ندهد.

تذکر : هنگامی میتوان از هم ارزی گروه 1و 2 با هم استفاده نمود که عوامل در هم ضرب و یا تقسیم شده باشد.


برنولی:

این هم ارزی هنگامی استفاده می شود که با توان های بالا و یا رادیکالهایی با فرجه بالا مواجه باشیم که به قرار زیر است.
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.3.gif

حدود عددی تابع معکوس:

داریم:
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.h1.gif


حدود عددی تابع مرکب:

ابتدا حد تابع درونی را بدست می آوریم و سپس حد تابع بیرونی را در جواب درونی محاسبه میکنیم
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.h2.gif

تذکر:

تابع زوج:
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.h3.gif

تابع فرد:
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.h4.gif

نکته بسیار مهم :
میدانیم مشتق تابع زوج تابعی است فرد و مشتق تابع فرد تابعی است زوج
پس اگر تذکر فوق در مورد مشتق چپ و راست مطرح گردد حالات بیان شده بالعکس خواهد بود.

حدود بی نهایت:

منظور از حد بی نهایت آن است که متغیر به مثبت و منقی بی نهایت میل کند

و تعریف آن چنین است:

http://minag.persiangig.com/image/riyazi.b1.gif

سرانجام یک حد بینهایت به قرار زیر است:

http://minag.persiangig.com/image/riyazi.b2.gif



بر خورد با حالات 10 و 12:

برای حالت 10به این شکل عمل میکنیم
اگر دو بینهایت ناهم جنس باشند(یکی + و دیگری - ) ازقاعده سرعت رشد استفاده می کنیم.
اگر دو ببنهایت هم جنس باشند ( هر دو + یا هر دو - ) در صورتی که مساوی باشند صفر می شود و در صورتی که نا مساوی باشند مبهم میشود که باید برای رفع ابهام از روش هوپیتال سازی استفاده کنیم.


برای حالت 12 به این شکل عمل میکنیم
اگر دو بینهایت نا هم جنس باشند (یکی + و دیگری - ) از قاعده سرعت رشد استفاده میکنیم.
اگر دو بینهایت هم جنس باشند (هردو + یا هردو - ) در صورتی که هر دو مساوی باشند جواب حد یک میشود در صورتی که نامساوی باشند جواب حد مبهم است که باید برای رفع ابهام از روش هوپیتال سازی استفاده کنیم.


جدول سرعت رشد به قرار زیر است و با توجه به آن در حدود بینهایت تابع سمت چپ برای تابع سمت راست عدد محسوب میشود:

http://minag.persiangig.com/image/riyazi.b3.gif


نکته : در توابع شامل فاکتوریل در بینهایت عبارت بزرگتر جلوی فاکتوریل انتخاب میشود.

نکته : در حدود بینهایت مثلثاتی اولاا به تنهایی در بینهایت حد ندارند ثانیا درsin , cos کنار تابع جبری با توجه به سرعت رشد ممکن از حد پیدا کند و اما توابع tan , cot از آنهایی که رشد متغیر دارند در جدول سرعت رشد جای خاصی را اشغال نمیکند پس عمدتا در کنار توابع جبری حد ندارند .


نکته : در حدود بینهایت توابع Arc داریم:

http://minag.persiangig.com/image/riyazi.b4.gif

استفاده از هم ارز بینهایت بزرگ:

خطی
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.hb1.gif


کسری
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.hb2.gif


رادیکالی: نیوتون
http://minag.persiangig.com/image/riyazi.hb2.gif

نکته :

هم ارزی های بینهایت بزرگ توابع :
هنگامی که آنها در نمای یک عبارت نمایی یا جلوی لگاریتم یا جلوینسبت مثلثاتی یا جلوی Arc واقع شوند به قرار زیر است:

اگر استفاده از هم ارزی منجرب حذف عوامل و ایجاد صفر شود دیگر قابل استفاده نیست و در انیجا عبارت را در مزدوج و یا مکمل عوامل حذف شونده ضرب و تقسیم می کنیم سپس در عبارت جدید به دست آمده از هم ارز بینهایت بزرگ استفاده می کنیم و مطمئنا در این عبارت جدید عوامل حذف نخواهد شد.

حد هندسي

در اين مقاله با نمايش انيميشني ، مفهوم حد هندسي را به شما معرفي مي كنيم ...


دايره هايي با مشخصات زير در نظر مي گيريم :
الف)دايره ي C به مركز (1,0) و شعاع 1 واحد .
ب)دايره ي O به مركز (0,0) و شعاع r واحد .

اگر نقاط S , R به ترتيب "محل تلاقي دايره ي O با محور y ها(ي نامنفي) " و "محل تلاقي دواير C , O " باشند و خط واصل نقاط S , R ، محور x ها را در نقطه ي P قطع كند . رفتار نقطه ي P وقتي r به سمت صفر ميل مي كند ، چگونه است ؟

http://anjoman.ir/Images/Public/2007...etriclimit.gif

قضيه ي فشردگي حدود

http://anjoman.ir/Images/Public/2007...eAnimation.gif

قضيه ي فشردگي حدود:

اگر http://anjoman.ir/Images/Public/200761192521_squ1.gif آن گاه : http://anjoman.ir/Images/Public/200761193239_squ2.gif .(اين قضيه براي حدهاي يك طرفه و بي نهايت هم برقرار است.)

http://anjoman.ir/Images/Public/2007...1_squeeze3.JPG

مثال: http://anjoman.ir/Images/Public/20076111078_squ4.gif را بيابيد.
با توجه به شكل زير و استفاده از قضيه ي فشردگي ، نتيجه مي شود كه حد راست برابر 0 است.براي بررسي حد چپ،كافي است نيمه ي ديگر نمودار تابع را در نظر بگيريم كه مشابها" نتيجه مي شود كه حد چپ نيز برابر 0 است و لذا حد مذكور برابر 0 است .

http://anjoman.ir/Images/Public/2007...1_squeeze2.JPG

تمرين :حدود زير را بيابيد .(x عددي حقيقي و [y]معرف جز صحيح y است .)
http://anjoman.ir/Images/Public/2007611122845_squ3.gif

در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد.
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتن و لایب نیتسدر قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:

"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."

اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.
حد تابع در یک نقطه


اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c20f349726.png
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d0bdf3d021.png


حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b196fba791.png در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d/limits1.gif منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است

تعریف مجرد حد:


فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.pngوجود دارد یک http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cb80ddf887.png که برای هر x دلخواه اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7bd1a59576.png آنگاه نتیجه بگیریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...559adabf6e.png

حد توابع در بی نهایت

حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2fc6865b7e.png خواهیم داشت:

• f(100) = 1.9802
• f(1000) = 1.9980
• f(10000) = 1.9998

مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...67c15205f1.png

حد یک دنباله

حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c821aed52f.png اگر و تنها اگر برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.png یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1d02642925.png
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c20676427.png. را به عنوان فاصله بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...916dfc3daf.png و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.

دانشنامه رشد

حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه هنگامی که متغیر تابع به آن نقطه میل می‌کند.

تعریف

عبارت زیرین به اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...silondelta.jpg




http://upload.wikimedia.org/math/e/d...fdd4190429.png
به این معنی است که، برای هر http://upload.wikimedia.org/math/f/1...a5f1b170bd.png یک http://upload.wikimedia.org/math/0/8...3b23fb1e22.png وجود دارد، که برای هر x با خاصیت http://upload.wikimedia.org/math/6/e...f4aa88d9ff.png، آنگاه داریم: http://upload.wikimedia.org/math/2/c...537413bcc6.png.
مثال:
اثبات http://upload.wikimedia.org/math/d/3...2f575f464d.png :
برای هر http://upload.wikimedia.org/math/f/1...a5f1b170bd.png یک http://upload.wikimedia.org/math/0/8...3b23fb1e22.png وجود دارد به شکلی که:
http://upload.wikimedia.org/math/2/e...d4abe0d03a.png اگر 0 < x < 0 + δ
یا http://upload.wikimedia.org/math/e/6...25592fd3ef.png اگر 0 < x < δ
با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:
http://upload.wikimedia.org/math/1/7...5c494d135f.png اگر 0 < x < δ
بنا بر این δ = ε2
و این http://upload.wikimedia.org/math/d/3...2f575f464d.png را اثبات می‌کند.

حد تابع

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت
‎
http://upload.wikimedia.org/math/e/d...fdd4190429.png
بدین معناست که f(x)‎ به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر http://upload.wikimedia.org/math/3/6...bf1668399a.png باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. http://upload.wikimedia.org/math/0/9...9b91f2714d.png است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 0.4121 0.4012 0.4001 http://upload.wikimedia.org/math/d/f...126faba316.png 0.4 http://upload.wikimedia.org/math/1/c...52e0d83674.png 0.3998 0.3988 0.3882 اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x)‎ برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم http://upload.wikimedia.org/math/4/3...b3faa8f219.png. در این مثال http://upload.wikimedia.org/math/6/f...63c89fa2d3.png است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:
‎
http://upload.wikimedia.org/math/9/d...21fc50803a.png
حد g(x)‎ به ازای x برابر ۲ مساوی ۰٫۴ می‌باشد اما http://upload.wikimedia.org/math/1/7...83c7ef9fd3.png و g در ۲ پیوسته نیست.
در مثالی دیگر فرض می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد:
‎
http://upload.wikimedia.org/math/2/2...a5aa666849.png
اگر به x مقدار ۲ را بدهیم تابع تعریف نشده اما حد آن برابر ۲ است:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1) 1.95 1.99 1.999 http://upload.wikimedia.org/math/d/f...126faba316.png تعریف نشده http://upload.wikimedia.org/math/1/c...52e0d83674.png 2.001 2.010 2.10
منبع

‎

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., 1991
• ویکی پدیا

مقاله ای دررابطه با حد به صورت pdf

کد:
[DOWN]http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0034.pdf [/DOWN]
سایت المپیاد فیزیک رشد