انتگرال

تابع اولیه

هر گاه معادله مشتق تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را تعیین کنیم این عمل را تابع اولیه می نامیم.
تعریف: تابع اولیه y = f(x)را تابعی مانند Y = F(x) + c می نامیم،هرگاه داشته باشیم:
cعدد ثابت (y = F(x) + c)' = y = f(x)

انتگرال نامعین

تعریف:هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل راانتگرال نا معیین نامیده و آن را با نماد http://upload.wikimedia.org/math/f/e...eb485cd0f6.png نمایش می‌دهند.
بنا به تعریف نمادhttp://upload.wikimedia.org/math/0/5...b90a8a97a4.png را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانندF(x) + c در نظر میگیریم هر گاه داشته باشیم: http://upload.wikimedia.org/math/7/e...af951496ba.png با شرط: (F(x) + c)' = f(x)

انتگرال معین

بنا به تعریف نمادhttp://upload.wikimedia.org/math/1/e...325ad76e43.png را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم: a<x<b http://upload.wikimedia.org/math/a/4...8b6e5c56dc.png
aوb را به ترتیب کرانهای بالا و پایین انتگرال مینامیم.

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی fx است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...tegral.svg.png http://fa.wikipedia.org/skins-1.5/co...gnify-clip.png
نمایش گرافیکی انتگرال.


انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ (Lebesgue) است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعويض پذيری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان-استیلچس (Riemann-Stieltjes) اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زير از مهم‌ترين تعاريف انتگرال مي باشند:

• انتگرال ريمان
• انتگرال لبگ
• انتگرال ریمان-استیلتیس (تعمیم انتگرال ریمان)

کاربرد

انتگرال ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربرد های زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عممودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلا رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:
http://upload.wikimedia.org/math/8/2...f228645e54.png سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:
http://upload.wikimedia.org/math/b/2...56c4ddd214.png پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.


ویکی پدیا

محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:
1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:


بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.
به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :

• انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
• انتگرال گیری جزء به جزء : http://upload.wikimedia.org/math/4/c...9b2bb76292.png
• انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
• انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.


ویکی پدیا

جدول مختصر انتگرالها

• http://upload.wikimedia.org/math/9/9...d64739b908.png

• http://upload.wikimedia.org/math/b/f...2331c16ecd.png

• http://upload.wikimedia.org/math/b/e...39fed3b985.png

rst kind)

• http://upload.wikimedia.org/math/0/6...1fc7790c67.png

• http://upload.wikimedia.org/math/6/5...e6e01008de.png, http://upload.wikimedia.org/math/8/7...c8e56ffdd1.png, this is related to the probability density function of the Student's t-distribution)

• http://upload.wikimedia.org/math/9/f...60565c0847.png

• http://upload.wikimedia.org/math/f/9...15ef3d5b05.png

• http://upload.wikimedia.org/math/1/1...0bf2f8b25e.png

• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/8/2...ce6e77271b.png

• http://upload.wikimedia.org/math/e/e...d2bceb8580.png

• http://upload.wikimedia.org/math/7/6...d7504a18be.png

• http://upload.wikimedia.org/math/7/7...8c4f947d74.png

جدول کامل انتگرال‌ها

عمومی

• http://upload.wikimedia.org/math/f/0...a3222544f0.png
• http://upload.wikimedia.org/math/5/c...5161792145.png
• http://upload.wikimedia.org/math/f/c...8cdf2fc74d.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/0...dd05fae709.png
• http://upload.wikimedia.org/math/0/c...b321648b42.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/4/1...15e97d48ad.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/e...616364202a.png
• http://upload.wikimedia.org/math/3/0...598fd11385.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/3/1...ca50e3cf80.png

توابع گویا

• http://upload.wikimedia.org/math/f/4...e9ddf318da.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/9...1111e0ac43.png
• http://upload.wikimedia.org/math/1/9...077a60e06c.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/2...5b1c162025.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/1...9e8cee794a.png
• http://upload.wikimedia.org/math/2/8...211a5e76e0.png
• <\int> {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C</math>
• http://upload.wikimedia.org/math/f/3...b9e6929b8c.png

توابع لگاریتمی

• http://upload.wikimedia.org/math/0/4...950164084c.png
• http://upload.wikimedia.org/math/c/7...978f4c1d7a.png

توابع نمایی

• http://upload.wikimedia.org/math/a/7...735afdb5fe.png
• http://upload.wikimedia.org/math/2/3...8dbd9c271b.png

توابع مثلثاتی

• http://upload.wikimedia.org/math/2/a...090134a941.png
• http://upload.wikimedia.org/math/9/4...01c60a1127.png
• http://upload.wikimedia.org/math/a/e...d006400cf3.png
• http://upload.wikimedia.org/math/1/a...e8287b4bd7.png
• http://upload.wikimedia.org/math/c/7...6a8b4dc74d.png
• http://upload.wikimedia.org/math/5/d...23f87bb6a1.png
• http://upload.wikimedia.org/math/8/b...3119e1bf3d.png
• http://upload.wikimedia.org/math/6/e...87cfc821a8.png
• http://upload.wikimedia.org/math/7/a...46a97e80ac.png
• http://upload.wikimedia.org/math/f/5...a53844f3ff.png
• http://upload.wikimedia.org/math/8/6...cdad06f19e.png
• http://upload.wikimedia.org/math/3/4...d18f0584b8.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/c/9...d6d614eb92.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/4/8...e89f20bd3a.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/6/c...1aba47acda.png
• http://upload.wikimedia.org/math/1/9...e386874cd9.png

توابع هایپربولیک

• http://upload.wikimedia.org/math/4/0...67a1075bdb.png
• http://upload.wikimedia.org/math/7/5...a716b8e7d3.png
• http://upload.wikimedia.org/math/3/3...dd11831f21.png
• http://upload.wikimedia.org/math/3/b...a9bd775a87.png
• http://upload.wikimedia.org/math/b/4...9300d5d10e.png
• http://upload.wikimedia.org/math/6/6...5e3903a333.png
• http://upload.wikimedia.org/math/4/3...362890d76f.png

• http://upload.wikimedia.org/math/c/7...4c937e8fc2.png
• http://upload.wikimedia.org/math/a/d...fc051b6d76.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/3/1...75973a175c.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/a/0...edb6f97fd3.png
• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/f/9...7e83d4c932.png
• http://upload.wikimedia.org/math/d/5...b660ac4af3.png

• http://upload.wikimedia.org/math/a/d...b15f7db800.png (see also Gamma function)

• http://upload.wikimedia.org/math/f/5...e2356fae39.png (the Gaussian integral)

• http://upload.wikimedia.org/math/e/5...291d1ffa79.png (see also Bernoulli number)

• http://upload.wikimedia.org/math/f/f...017118ad55.png

• http://upload.wikimedia.org/math/1/e...455ec6fd2c.png

• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/7/f...66f4da8873.png (if n is an even integer and http://upload.wikimedia.org/math/b/0...3c004ee428.png)

• 
  
  http://upload.wikimedia.org/math/3/0...7ddcff1c5f.png (if http://upload.wikimedia.org/math/b/1...5fee639acc.png is an odd integer and http://upload.wikimedia.org/math/e/5...a63cc8e274.png)

• http://upload.wikimedia.org/math/d/8...3884614061.png

• http://upload.wikimedia.org/math/4/e...87437d6623.png (where Γ(z) is the Gamma function)

انتگرال چندگانه

پرش به: ناوبری, جستجو
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...er_surface.png

انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغییر دارند.


انتگرال چندگانه نوعی از انتگرال است که برای بدست آوردن حجم یا پارالل زیر تابع‌های بیش از یک متغییر استفاده می‌شود.


روش نمایش

توابع با بیش از یک متغییر را با http://upload.wikimedia.org/math/6/e...a7b899025b.png یا http://upload.wikimedia.org/math/4/8...55d230dc8b.png نمایش می‌دهند.
و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:
http://upload.wikimedia.org/math/1/7...779deacc1d.png
انتگرال‌های چندگانه

انتگرال دوگانه:معرف حجم زیر تابع است که دو متغییر دارد. مثلا:
http://upload.wikimedia.org/math/a/5...3bb1ca103f.png انتگرال سه گانه:معرف پارالل زیر نمودار(می توان آن را نوعی حجم ضربدر زمان گرفت) است مثلا
http://upload.wikimedia.org/math/d/7...e11728315b.png
تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی(توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد)است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغییرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم(که دارای یکی دیگر از متغییرهاست)برحسب متغییر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.
اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله :نظریه دیورژانس٬نظریه سبز و ...

میتونید از این لینک مقاله ای از انتگرال را به صورت pdf مشاهده کنید

کد:

---

http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0038.pdf

---

روش های انتگرال گیری :

کد:

---

http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0039.pdf

---

كاربردهاي انتگرال:

کد:

---

http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0040.pdf

---

سایت المپیاد فیزیک رشد

انتگرال خطی

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.
تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال http://upload.wikimedia.org/math/8/f...4f00741dbf.png) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالhttp://upload.wikimedia.org/math/b/6...3fe297d324.png) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.
تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال http://upload.wikimedia.org/math/8/f...4f00741dbf.png) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالhttp://upload.wikimedia.org/math/b/6...3fe297d324.png) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.
تعریف

برای بعضی از میدان‌های اسکالر f : R'n http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1d481f9a52.png R انتگرال خطی روی منحنی C با پارامتریزه شدن r(t) که:http://upload.wikimedia.org/math/3/6...c1f36d7ca8.png
معنی می‌شود که f:میدان اسکالر انتگرال‌پذیر
C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود
r(t): [a, b] http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1d481f9a52.png C :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی C اند. ds روش راه‌گشای ارائه شده است به طوری که برابر طول کمان مقدماتی است. زیرا آنها تنهاوابسته به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(t اند. برای یک میدان برداری F : Rn http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1d481f9a52.png Rn، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.
http://upload.wikimedia.org/math/c/f...844ccd673b.png انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آنها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.

راه استقلال

اگر یک میدان برداری F باشد که برابر گرادیان میدان اسکالر G باشد.
http://upload.wikimedia.org/math/0/f...2147a4868e.png پس یک مشتق از ترکیب G و (r(t هست که
http://upload.wikimedia.org/math/4/4...0c90d9ca0d.png که مقداری برای انتگرال خطی از میدان F روی (r(t است. با دنباله‌روی از این روش، یک مسیر روی C به ما می‌دهد که


http://upload.wikimedia.org/math/7/1...54d90bd865.png در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است. بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده است، راه استقلال می‌نامند.



کاربردها

انتگرال خطی کاربرد زیادی در فیزیک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به طوری که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.

رابطه ی انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط

چشم‌انداز اعداد مختلط به طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با قسمت حقیقی از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک تابع مختلط با یک متغیر مختلط. بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن تابع هولومورفیک که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.

آنالیز مختلط

انتگرال خطی یک روش بنیادی در آنالیز مختلط است. فرض U یک زیرمجموعه بازی است در C، γ : [a, b] http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1d481f9a52.png U یک مسیر است و f : U http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1d481f9a52.png C یک تابع باشد که انتگرال خطی :http://upload.wikimedia.org/math/f/0...becb72f822.png. بازه [a,b] را به صورت زیر افراز می‌کنیم.
a = t0 < t1 < ... < tn = b
که با توجه به بالا می‌شود
http://upload.wikimedia.org/math/6/4...ccdadc3717.png انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به طوری که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.
http://upload.wikimedia.org/math/0/8...603987b1a8.png وقتیγ یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آنرا با
http://upload.wikimedia.org/math/d/3...ec66668bcf.png نشان می‌دهند که معمولاً برای انتگرال خطی f رویγ بسته نمایش داده می‌شود. بهترین حکم در مورد انتگرال خطی (جهتی)، قضیهی انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی است. زیرا با استفاده از قضیه مانده می‌توان روش انتگرال خطی (جهتی) در صفحه مختلط برای پیدا کردن انتگرال و مقدار حقیقی تابع از یک متغیر حقیقی پیدا کرد.



مثال

با توجه به تابع f(z)=1/z و منحنی C حول صفر با شعاع 1 که با eit, پارامتریزه می‌شود که t in [0,2π]. داریم:
http://upload.wikimedia.org/math/a/d...5fc994d916.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/0/8...5cd352ae4e.png که می‌توان این مثال را از طریق انتگرال کشی بازبینی نمود.



مکانیک کوانتومی

راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آنها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات مکانیک کوانتومی دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.

مقاله دکتر حسین بیکی ودکتر مرتضی خادمی استاد دانشگاه شریف - ویکی پدیا