-
قضيه ي فشردگي حدود
قضيه ي فشردگي حدود:
اگر http://anjoman.ir/Images/Public/200761192521_squ1.gif آن گاه : http://anjoman.ir/Images/Public/200761193239_squ2.gif .(اين قضيه براي حدهاي يك طرفه و بي نهايت هم برقرار است.)
مثال: http://anjoman.ir/Images/Public/20076111078_squ4.gif را بيابيد.
با توجه به شكل زير و استفاده از قضيه ي فشردگي ، نتيجه مي شود كه حد راست برابر 0 است.براي بررسي حد چپ،كافي است نيمه ي ديگر نمودار تابع را در نظر بگيريم كه مشابها" نتيجه مي شود كه حد چپ نيز برابر 0 است و لذا حد مذكور برابر 0 است .
تمرين :حدود زير را بيابيد .(x عددي حقيقي و [y]معرف جز صحيح y است .)
http://anjoman.ir/Images/Public/2007611122845_squ3.gif
-
در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد.
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.
نیوتن و لایب نیتسدر قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.
یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:
"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."
اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.
حد تابع در یک نقطه
اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم:http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c20f349726.png
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d0bdf3d021.png
حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...b196fba791.png در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست.
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d/limits1.gif منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است
تعریف مجرد حد:
فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...399f0aff21.png را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هرhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.pngوجود دارد یک http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cb80ddf887.png که برای هر x دلخواه اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7bd1a59576.png آنگاه نتیجه بگیریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...559adabf6e.png
حد توابع در بی نهایت
حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2fc6865b7e.png خواهیم داشت:
- f(100) = 1.9802
- f(1000) = 1.9980
- f(10000) = 1.9998
مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...67c15205f1.png
حد یک دنباله
حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c821aed52f.png اگر و تنها اگر برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...65a23ebc54.png یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیمhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1d02642925.png
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8c20676427.png. را به عنوان فاصله بین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...916dfc3daf.png و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند.
دانشنامه رشد
-
حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه هنگامی که متغیر تابع به آن نقطه میل می‌کند.
تعریف
عبارت زیرین به اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد:
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...silondelta.jpg
http://upload.wikimedia.org/math/e/d...fdd4190429.png
به این معنی است که، برای هر http://upload.wikimedia.org/math/f/1...a5f1b170bd.png یک http://upload.wikimedia.org/math/0/8...3b23fb1e22.png وجود دارد، که برای هر x با خاصیت http://upload.wikimedia.org/math/6/e...f4aa88d9ff.png، آنگاه داریم: http://upload.wikimedia.org/math/2/c...537413bcc6.png.
مثال:
اثبات http://upload.wikimedia.org/math/d/3...2f575f464d.png :
برای هر http://upload.wikimedia.org/math/f/1...a5f1b170bd.png یک http://upload.wikimedia.org/math/0/8...3b23fb1e22.png وجود دارد به شکلی که:
http://upload.wikimedia.org/math/2/e...d4abe0d03a.png اگر 0 < x < 0 + δ
یا http://upload.wikimedia.org/math/e/6...25592fd3ef.png اگر 0 < x < δ
با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:
http://upload.wikimedia.org/math/1/7...5c494d135f.png اگر 0 < x < δ
بنا بر این δ = ε2
و این http://upload.wikimedia.org/math/d/3...2f575f464d.png را اثبات می‌کند.
حد تابع
فرض کنید f(x) تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت
http://upload.wikimedia.org/math/e/d...fdd4190429.png
بدین معناست که f(x) به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر http://upload.wikimedia.org/math/3/6...bf1668399a.png باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. http://upload.wikimedia.org/math/0/9...9b91f2714d.png است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 0.4121 0.4012 0.4001 http://upload.wikimedia.org/math/d/f...126faba316.png 0.4 http://upload.wikimedia.org/math/1/c...52e0d83674.png 0.3998 0.3988 0.3882 اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x) برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم http://upload.wikimedia.org/math/4/3...b3faa8f219.png. در این مثال http://upload.wikimedia.org/math/6/f...63c89fa2d3.png است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:
http://upload.wikimedia.org/math/9/d...21fc50803a.png
حد g(x) به ازای x برابر ۲ مساوی ۰٫۴ می‌باشد اما http://upload.wikimedia.org/math/1/7...83c7ef9fd3.png و g در ۲ پیوسته نیست.
در مثالی دیگر فرض می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد:
http://upload.wikimedia.org/math/2/2...a5aa666849.png
اگر به x مقدار ۲ را بدهیم تابع تعریف نشده اما حد آن برابر ۲ است:
f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1) 1.95 1.99 1.999 http://upload.wikimedia.org/math/d/f...126faba316.png تعریف نشده http://upload.wikimedia.org/math/1/c...52e0d83674.png 2.001 2.010 2.10
منبع
- Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., 1991
- ویکی پدیا
-
مقاله ای دررابطه با حد به صورت pdf
کد:
[DOWN]http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0034.pdf [/DOWN]
سایت المپیاد فیزیک رشد
