بررسي رفتار عضله اسكلتي و كنترل حركات پيچيده

بررسي رفتار عضله اسكلتي و كنترل حركات پيچيده
نویسنده: مهندس محمد کریمی مریدانی
فعاليت عضله اسكلتي با تحريك در سيستم عصبي مركزي ( CNS ) شروع مي شود و اين سيستم باعث توليد پتانسيل الكتريكي در سيستم عصبي محيطي و به بيان ديگر نروموتور‌هايي كه در ارتباط به عضله مورد نظر هستند مي‌شود. سپس سيگنال الكتريكي به وسيله اتصال‌هاي عضلاني -‌ نوروني به نام M و N در طول فيبرهاي عضلاني منتقل مي‌شود. اين كار به وسيله واسطه‌هاي شيميايي از قبيل استيل كولين و ... انجام مي‌شود كه حاصل آن آغاز شدن يك پتانسيل عمل در فيبرهاي عضلاني است.
پـتـانـسـيـل هـاي عـمـلـي كه درعضله به وجود مـــي‌آيـــد بـــه صــورت دپــلاريــزاسـيــون در طــول فـيـبـرهـاي عـضـلاني منتقل مي شوند و سپس با اسـتـفـاده از عناصري تحت عنوان T-Tubuleبه سـمت جلوي عضله اسكلتي حركت مي كنند. در درون عـضـلـه اسـكـلـتـي قـسمتي وجود دارد، تحت عنوان (Sarcoplasmic Reticulum (SR كه حاوي كلسيم است . پتانسيل هاي عمل ايجاد شده در T - Tubule باعث آزاد شدن كلسيم از SR مي شود .
اين مرحله از كار(Excitation - coupling (E - C ‌ناميده مي شود. كلسيم آزاد شده از SRبه درون (Sarcoplasm (SP ريخته مي شود كه نتيجه آن ايجاد واكنش هاي شيميايي است كه در نهايت باعث انقباض عضله اسكلتي و توليد نيرو مي شود. بلوك دياگرام مراحل شرح داده شده در شكل 1 نمايش داده شده است.
‌

خصوصيات عضله اسكلتي ‌
عـضله اسكلتي وقتي منقبض مي شود كه تحريك شود اين انقباض مي تواند تحت اعمال بارهاي مختلفي انجام گيرد. اگر اين نيروي اعمالي به عضله به اندازه كافي بزرگ باشد در اين صورت با اعمال تحريك الكتريكي طول عضله الكتريكي تغيير نخواهد كرد‌.


اين شرايط را كه در آن آزمايشات انجام مي شود شرايط ايزومتريك‌گفته مي شود. در ادامه به بررسي بعضي از خصوصيات عضله اسكلتي در هنگام تحريك و تحت شرايط ايزومتريك پرداخته مي شود.

Twitch
مطالعات بسيار زيادي تحت شرايط ايزومتريك بر روي عضله اسكلتي وجود دارد . اگر يك ايمپالس عصبي به عضله اسكلتي اعمال شود در اين صورت يك پتانسيل عمل در درون عضله به وجود خواهد آمد كه نتيجه آن ايجاد يك نيروي سهمي شكل نسبت به زمان خواهد بود . اين پديده به نام Twitchمعروف است و به راحتي قابل مشاهده است.

Tetanic
اگر عضله اسكلتي با استفاده از پتانسيل هاي عمل مكرر تحريك شود باعث خواهد شد تا Twitch هاي به وجود آمده از هر تحريك با يكديگر ادغام شوند . اگر فاصله زماني بين دو تحريك به اندازه كافي كم باشد قبل از اينكه نيروي ناش از پتانسيل عمل اول صفر شود Twitch دوم به وقوع مي پيوندد . ‌
در اين حالت ماكزيمم دامنه سيگنال به وجود آمده از Single Twitch بيشتر خواهد بود. كاهش فاصله زماني بين دو تحريك باعث افزايش ماكزيمم دامنه سيگنال خواهد شد . اين پديده تا هنگامي ادامه دارد كه اين فاصله به آستانه Time to peak نيرو در عضله برسد در اين آزمايش اگر فاصله زماني تحريكات زياد باشد دامنه نيرو بين دو تحريك كم و زياد مي شود. اگر اين فاصله كم باشد ريپل نيروي بين دو تحريك كمتر خواهد. ‌

وابستگي طول و نيرو در عضله اسكلتي
رفتار عضله به صورت پسيو ‌ مانند رفتار يك جسم الاستيك است هنگامي كه عضله در حالت تحريك است نيروي خروجي مجموع كشش اين جسم الاستيك و نيروي ايجاد شده در اثر تحريك است . براي به دست آوردن نيروي ناشي از تحريك بايد نيروي نيروي ناشي از كشش پسيو را از كل نيروي تحريك كم كرد.
به اين ترتيب تا حدودي فيزيولوژي عضله اسكلتي در هنگام تحريكات الكتريكي مورد بررسي قرار گرفت.

‌بيان روابط رياضي مسأله كنترل براي حركات پيچيده ‌
در ايـن بـحـث كـنـترل براي حركات پيچيده و ويـژگـي هـاي پايداري مدل ها مورد بررسي قرار داده مــي شــود و بـيـشـتــر بــر روي كـنـتـرل بـازو در حركت سهمي گون پيچيده تمركز مي شود. اگر‌چه حـركـات زيـادي را مي توان شبيه سازي كرد، اما حركت مورد نظر در اين تحقيق، حركت پيوسته پــريــوديــك اســت، كـه بـه نـوعـي مـشـابـه حـركـات نـمــــايــشــــي اســــت. حــــركــــت پــــريـــوديـــك بـــازو، عكس العمل طبيعي را به بيت هاي قطعه موسيقي تقريب مي زند. هنگامي كه فرد در حال حركات نـمــايـشــي اســت، هــدف كـنـتــرلــي شـامـل رديـابـي سـيـگـنـال پـريـوديـك در بـازو اسـت. تـئـوري‌هاي مـتـعـددي در مـورد چـگـونـگـي رهبري كردن اين حركات توسط مغز وجود دارد. ساده ترين تئوري در مورد سيگنال هاي فيدبك سنسوري يا دوك و نقش آن ها در مورد قوانين كنترلي است. اگر چه چنين مدل هايي براي كنترل حركات سريع همراه با تاخيرهاي طولاني در مسيرهاي سيگنال آوران غـيـر قـابـل اسـتفاده هستند. اخيراً تئوري در زمينه مــــدل‌ســــازي ايــنــــرســـي در كــنــتـــرل تـــومـــوري و فـرمـولاسيون آن ارايه شده است. با توجه به اين فـرضـيـه، مـغـز مـدل يـا مدل هايي را براي طراحي مـسـيـــر حــركــت دارد و از آن هــا بــراي مـحــاسـبــه سـيـگـنــال‌هــاي كـنـتــرلــي مـقـتـضـي در روش‌هـاي مستقيم استفاده مي كند. ‌
در ايـن تحقيق شده كه از تئوري هاي هيبريد استفاده شود. از فيدبك در قوانين كنترلي موجود در مــدل اسـتـفــاده شــده و ايــن فـيـدبـك هـمـراه بـا تاخيرهايي با طول يكسان است. در كنار تئوري مـدل ايـنـرسـي، از يـك كـنـتـرلـر براي اعمال مسير حـــركـــت مــطـلــوب بــه عـنــوان ورودي اسـتـفــاده مـي‌كنيم. چنين ساختاري را مي توان با طراحي كـنـتــــرل بــهــيــنــــه بــــه ســــادگــــي بــــه دســــت آورد. فرمول‌بندي نقشه و طرح مسير حركت به عنوان يـك مـسـألـه كـنـتـرل بـهينه تكنيكي كاملا شناخته شـــده در ســيــســتـــم هـــاي بــيـــومــكـــانـيــك اســت. فـرمولاسيون مسايل كنترلي با چنين روشي اين امكان را مي‌دهد كه تابع هزينه حداقل شود، در ضـمــــــن رديــــــابــــــي دقـــيــــــق ورودي مــــــرجـــــع را امـكـان‌پـذيـر‌مـي كـنـد. داشـتـن اطلاعات اوليه در مورد مسير حركت و حالت مورد نظر براي مدل كنترل بيولوژيك ضروري نيست. اگرچه كسب چنين اطلاعاتي معمولا دشوار است، اگر يافتن آن در ساير سيستم ها امكان پذير نباشد، اطلاعات اوليه را معمولا مي توان از روي طرح مسير حركت به دست آورد. كاملا واضح است كه وقتي شخص مي خواهد حركت كند، اندكي قبل از حركت خودش از اين تصميم آگاه است. از آنجا فقط رفتارهاي كيفي مورد نظر ما است، مي‌توان ماتريس گين فيدبك حالت به سادگي محاسبه كرد. ‌
عـلـي رغـم داشـتـن اين مزيت ها، فرمولاسيون كنترل بهينه كمتر مورد استفاده قرار مي‌گيرد. از آنجا كه سيستم به شدت غيرخطي است، قانون كنترل به دست آمده از روي خطي سازي ژاكوبين هميشه زير ساختار بهينه دارد. اگر از يك كامپيوتر براي حل معادله ريكاتي زمان گسسته استفاده شود بهترين تقريب از طريق خطي سازي تكرار شونده سـيـسـتـم در هـر مـرحـلـه زمـانـي بـه دسـت مـي آيـد. دقـت خطي سازي تابعي از فواصل نمونه‌برداري و ديناميك سيستم در نقطه عملگر مورد نظر است. زمان نمونه برداري ms1 براي مدل به اندازه كافي كوچك است، كه دقت قابل قبولي را نتيجه دهد. اين مدل شـامـل تـاخـيـر قابل توجهي متناظر با سيگنال هاي فيدبك دوك است. اگر از تاخيرها صرف نظر شود، قانون كنترل كه از فواصل كوتاه زماني نشات گرفته است، دقت خود را از دست مي دهد و به هدف مورد نظر نمي رسد. براي حل اين مشكلات تاخيرها را با تـقـريـب هـاي pade مـدل مـي شـود. خوشبختانه اين استراتژي براي تاخيرها به خوبي جـواب مـي‌دهـد. فـيدبك خطي سازي شده پيچيدگي كار كنترلي را در سيستم خطي كاهش مي دهد. بنابراين كنترل طراحي شده با مدل فيدبك خطي سازي شده، در تئوري كنترل، زيرساختاري بهينه مبتني بر خطي سازي ژاكوپين را نتيجه مي‌دهد.

كنترل زير بهينه زمان گسسته ‌
اسـتـراتـژي بـهـيـنـه براي حداقل سازي واريانس نقطه پاياني بازو نسبت به موقعيت زاويه‌اي مورد نظر و سرعت در هر مرحله زماني به كار گرفته مي شود. اگرچه واريانس خود به تنهايي متغيري كينماتيك است، پروسه actuation عضلاني به صورت ديناميك است. بنابراين يك تابع هزينه توسط واريانس نقطه انتهايي تعيين مي شود، تا انرژي و موقعيت را به صورت هم زمان محاسبه كند.
به منظور يافتن راه حلي مبتني بر كامپيوتر كه بتواند مشكلات بهينه سازي را حل كند، تـابـع هـزيـنـه و سيستم بايد گسسته سازي شوند. در مورد تابع هزينه از گسسته سازي صرف نظر مي شود زيرا تابع هزينه تنها تركيب رياضي است. البته در گسسته سازي مدل فضاي حالت بايد خيلي دقت شود. تابع هزينه را در زمان گسسته مي توان به صورت زير توصيف كرد:
‌

‌
كه در اين رابطه Tk، اولين مرحله زماني حركت و N طول حركت در مراحل زماني اسـت. بـا در نـظـر گـرفـتـن هـدف كـنـتـرل در ذهن (رديابي مسير حركت بر پايه ورودي پريوديك) توالي ورودي بايد به صورت يك قطعه از موسيقي تخمين زده شوند. مي توان قطعه موسيقي را به عنوان اكسترمم سيگنال پريوديك در نظر گرفت. سيگنال ورودي پريوديك مرجع با (z(t نمايش داده شده است.

خطي سازي مدل مرتبه دوم ‌
‌به منظور دستيابي به هدف كنترلي بايد سيستم تعادلي را به شكل قابل اجرايي تبديل كــرد. رديــابــي دقـيــق مــرجــع ايــن سـيـسـتــم خـيـلــي دشــوار اســت، زيــرا تـئــوري آنــالـيــز رضـايـت بخشي براي سيستم هاي غيرخطي وجود ندارد. بنابراين نتايج براي قوانين كـنـتـرلـي چـنـيـن سـيـسـتم هايي با محدوديت روبه رو است. اگر چه مي توان با سيستم غيرخطي در آناليز ساده نقطه به نقطه حركت به صورت مستقيم كار كرد، وارد كردن چنين سيستمي براي دنبال كردن حركات پيچيده كاري غيرعاقلانه و غيرمنطقي است. بنابراين نخستين هدف خطي سازي سيستم مقتضي مرتبه دوم است. با مدل خطي شده مـي تـوان روش‌هـاي كـنـترل فيدبك خطي را به صورت قدرتمندي پياده سازي كرد. معادلات حـالـت ديـناميك هاي مدل غيرخطي مرتبه دوم عبارت است از:

‌

اثر Hill تمايل عضله براي به كار گرفتن تنش (كشش) كمتر تحت سرعت انقباض بزرگ‌تر را نشان مي دهد. ‌
بـراي سـاده سـازي نـتايج اين حقيقت در نظر گـرفـتـه مـي شـود كـه تـنـهـا يـك عـضـلـه مـي تـواند ســرعــت انـقـبــاض مـثـبــت در هـر زمـان حـركـت سـهـمـي شـكـل داشـتـه بـاشـد. بـه عـلاوه تـنها يك عـضـلـه بـايـد در هـر زمـانـي كه بازو حركت داده مي‌شود، منقبض شود.
بـــا تـــوجـــه بـــه تــئـــوري Hartman-Urobman مـي‌دانـيـم كـه در هـمـسـايـگي معادله هيپربوليك سـيـسـتـــم را مـــي تـــوان بــا يــك ســري مـعــادلات ديـفــرانـسـيــل خـطـي مـدل كـرد. بـنـابـرايـن فـرض مي‌شود كه مشابه معادلات هيپربوليك در مدل اولـيـه مـي تـوانـيـم سـيـسـتـم را بـا مـعادلات خطي تقريب بزنيم. اگر ژاكوبين سيستم را نسبت به x و u بــه دســت آوريــم بــه مــدل فـضـاي حـالـت زيـر خواهيم رسيد.




گسسته سازي سيستم ‌
‌اكنون كه مدل به صورت خطي شده است، مـي تـوان روش هـاي قـدرتـمـنـد كـنـتـرل فـيـدبك خطي را اعمال كرد تا به هدف اصلي نزديك شد. بـراي دسـتـيـابـي بـه اسـتـراتـژي كـنـتـرل بـهينه بايد معادله ماتريس ريكاتي حل شود تا ماتريس گين فـيـدبـك بـهـيـنـه بـه دسـت آيـد. روش سـريـع حل مـعـادلـه ريـكـاتي كه نشان داده شده است نشان مي دهد كه اين راه حل نمونه براي kاي داده شده است كه از نظر رياضي حقيقي است.

گين فيدبك ماتريسK به صورت زير محاسبه مي شود: ‌
معادله بايد براي تمام مقادير ماتريس هاي A و B سـيـستم كه از طريق ژاكوبين خطي سازي به دست مي آيد، حل شود. بايد اين حقيقت نيز در نظر گرفته شود كه اين ماتريس ها متغير با زمان هستند، زيرا (x(t و متغير با زمان هستند. بنابراين بايد سيستم را براي انجام محاسبات كامپيوتري بـراي حـل مـعـادلـه ريـكـاتي گسسته سازي كرد. سيستم را با نمونه برداري با نرخ Hz1000/T=1 مـــــــي تــــــوان گـــســـســـتــــــه كــــــرد. بــــــا قــــــرار دادن و جايگذاري tk به جاي t در سمت راست رابطه (3) به رابطه زير خواهيم رسيد:



‌كنترل زيربهينه مدل مرتبه دوم خطي و گسسته سازي شده ‌
‌خروجي مطلوب براي بازو اين است كه به طور موفقيت آميزي بتواند مسير حركت از پيش تـعـيـيـن شـده را در فـضـاي حـالت كه(z(t‌ ناميده مي‌شود، رديابي كند. اين مسأله معادل اين است كـه بـازو تـحـت نيرويي قرار گيرد كه به صورت است. فيدبك خروجي كه توسط كنترلر اعمال مي شود، خطاهاي سرعت و موقعيت زاويه‌اي هستند. ورودي هاي كنترلي مدل نيز به ترتيب خروجي‌هاي عصبي هستند. ورودي كـنـتـــــــــــــــرلـــ ــــــــــــي بـــــــــــــــه صــــــــــــــورت در نظر گرفته مي‌شود.
‌بـه مـنـظور دستيابي به بالاترين درجه دقت، نـقــاط عـمـلـگــر بــراي خـطـي سـازي سـيـسـتـم در مـاتـريس هاي A و B در فواصل زماني tk دايما update مــي شــونــد. اگــر چــه ايـن روش از نـظـر مـحــاسـبــاتــي طــولانــي و پـيـچـيــده اســت، امــا بـه ديـنـامـيـك هـاي سـيـسـتـم غيرخطي اين امكان را مـي‌دهـد كه تا جاي ممكن با مدل خطي سازي شــــده تــطــبــيــــق پــيــــدا كــنــنــــد. بــــه عـــلاوه زمـــان نمونه‌برداري ms1 به اندازه كافي كوچك است كه ديناميك‌هاي سيستم در حين فواصل زماني نمونه برداري تغيير نكنند. با جايگذاري سيستم در متناسب به واريانس نقطه انتهايي اين امكان داده مي شود كه با حداقل شدن حالت، حداقل شود. بنابراين اين مسأله را مي توان با تنظيم خطي Quadratic حل كرد. با مرور مجدد تابع هزينه معادله (1)، اكنون مي توان كــنــتــــرل زيــــر بــهــيــنــــه را در مــفــهـــوم شـــامـــل عــمــلــكـــردي Quadratic بــيـــان كـــرد. بـــا تعيين تابع هزينه را مي توان به صورت زير بازنويسي كرد:


‌
كه Q و R ماتريس هاي مثبت معيني هستند، كه به صورت زير تعريف مي شوند: ‌ ‌در اينجا بايد بر اهميت حداقل شدن خطاي رديابي حالت در اثر حداقل كردن گين كنترلي تأكيد كرد. در جديد معادلات حالت به صورت زير خواهند بود:



P ماتريسي است كه نگاشت بين را تعيين مي كند. معادله ريكاتي جبري زمان گسسته به صورت زير به دست مي آيد:

ماتريس S را اكنون مي توانيم به صورت عددي محاسبه كنيم. هنگامي كه ماتريس S محاسبه شد ماتريس گين كنترلي k از را مي توان به صورت زير محاسبه كرد:
ماتريس گين كنترلي را مي توان به صورت بازگشتي در هر مرحله زماني tk توسط كامپيوتر محاسبه كرد.

كنترل رديابي Asymptotic
‌هدف كنترلر اين است كه مسير حركت بر پايه ورودي پريوديك را رديابي كند، كه تحت عنوان priori شناخته شده است. به منظور نمايش يك beat از قطعه موسيقي كه سيگنال ورودي مرجع پريوديك مورد نظر را به صورت در نظر گرفته مي شود:
و مي توان مسيرهاي مرجع را به صورت زير توصيف كرد:


‌اين سه تابع به اين دليل انتخاب مي شود كه خروجي(X1ref(tدر محدوده است (اگــر چـه مـحـدوديـتـي بـراي (X2ref(t وجود ندارد) و به شدت مشتق پذير هستند. سـيـسـتـم بـا تـاخـيرهاي آوران و وابران به ترتيب در حد 0.005 و 0.035 مدل مــــي‌شــــود. ورودي هــــاي آســتــــانـــه دوك Yfl و Yexصفر در نظر گرفته مي شوند و ورودي‌هاي آتش عصبي 1R و 2R توسط كنترلر تعيين مي شوند. نتايج شبيه سازي در شكل 2 نشان داده شده اند.



همگرايي Asymptotic الگوريتم كنترل رديابي براي تمام شرايط اوليه مناسب است، اگر چه به عنوان مثال مي توان آن ها را به صورت 0[=0]1xو 0[=0]x2در نظر گرفت. تـاخـيـرهـاي انـتـشـار در مسيرهاي آوران و وابران منجر به نتايج قوي مي‌شود، به ويژه هنگامي كه بازو تغيير جهت مي دهد. چنين نتايجي ناشي از تاخيرهاي موجود در مدل فضاي حالت هستند. كاهش ميزان تاخير در مدل از طريق تقريب pade يا ساير تقريب ها هـدف تـحـقـيـقـات آيـنـده اسـت. عـدم دقـت در تـقريب سيستم با خطي سازي آن ها در نيروهاي عضلاني متناظر با مسير حركت كاملا مشهود است كه در شكل 3 نشان داده شـده اسـت.



توجه داشته باشيد كه مشتق پذيري نيروهاي عضلاني در بعضي فواصل زماني كاهش مي‌يابد. ‌
اثرات و واكنش هاي تيز وsharp نشان دهنده عدم توانايي خطي سازي ژاكوبين در توصيف كامل ديناميك هاي سيستم است.
الـگـوريـتـم كـنـتـرلي به شدت در مورد ورودي‌هاي مطلوب در حركات ريتميك به خوبي عمل مي كند، الگوريتم هر گونه ورودي مرجع smooth را در پريودهاي مختلفي حتي پريودهاي بزرگ تر از فواصل نمونه برداري مي‌تواند رديابي كند. ورودي‌هاي كنترلي در شكل 4 رسم شده اند.
ورودي هاي كنترلي به‌پاسخ هاي مسيرهاي حالت مطلوب شباهت دارند. هر يك كنترلرها پريود و اكسترمم ورودي هاي مرجع را دنبال مي‌كند. گين كنترلي مولفه هاي ماتريس كه در شكل 5 رسم شده اند نيز به ورودي هاي مرجع شباهت دارند.


نتيجه گيري ‌
در ايـن بخش دو تكنيك براي كنترل پيوسته حـركـت سـهـمي شكل ارايه شد. تكنيك اول بر مـبـنـاي خـطـي سـازي ژاكـوپـين بوده است. مدل مـرتبه دوم با استفاده از نقاط مختلف نزديك به مبدا خطي سازي مي شود. خطي سازي سيستم اســتــفـــاده از كــنـتــرل فـيــدبــك خـطــي را مـمـكــن مي‌سازند و به شدت محاسبات و پيچيدگي‌هاي محاسباتي سيستم را كاهش مي‌دهد. در مرحله بـعــد، سـيـسـتــم بــا نـرخ Hz1000 نـمـونـه بـرداري مـي‌شـود، تـا حـل مـبـتـنـي بـر كـامـپـيـوتـر بـر مـبناي معادلات ماتريس ريكاتي امكان پذير باشد.

شکل6)سیستم خطی شده فیدبکدر نهايت ورودي مرجع سينوسي بر‌سيستم خطي سازي‌شده گسسته شده به عنوان هدف رديابي اعـمـال مـي شـود. سـيـسـتم كنترل شده مي تواند موقعيت و سرعت زاويه‌اي را براي ورودي‌هاي سـيـنـوسـي مـرجـع بـه خوبي رديابي كند. اگرچه بعضي حالت‌هاي غيردقيق فيزيكي در الگوريتم وجـــود دارد بـــه ويـــژه در نــيـــروهــاي عـضــلانــي الگوريتم براي ورودي‌هاي پريوديك smooth خــوب عـمــل نـمــي‌كـنــد. روش دوم بـراي حـل مـسـايـل كـنـتـرلـي طـراحـي شـده اسـت. مـتأسفانه قـانـون كـنـترلي از پيش تعيين‌شده مناسبي براي اين روش وجود ندارد. نقص اين استراتژي يكي از دلايــل كـنـتـرل چـنـدگـانـه بـا اسـتـفـاده از تـوابـع مـعـكـوس نـاپـذيـر حـالـت در مـعـادلات سـيـسـتم است.
منبع : ماهنامه مهندسی پزشکی