اعداد اول مرسن

اعداد مرسن عبارتند از اعدادی به فرم (2^n)-1 که در آن n یک عدد طبیعی است و اعداد اول مرسن عبارتند از اعدادی که هم مرسن بوده و هم اول باشند. عدد اول عددی است که تنها بر یک و خودش بخش پذیر باشد. یافتن اعداد اول و مخصوصا اعداد اول با شرایط خاص از جمله مباحث مطرح در ریاضی و مخصوصا نظریه اعداد میباشد که البته در بعضی مواقع تبدیل به یک سرگرمی یا بازی ریاضی در دنیا گشته است. اعداد مرسن را معمولا بصورت زیر نمایش میدهند:

M(n)=(2^n)-1

برای اعداد مرسن شرط لازم اول بودن این است که توان n خود عدد اولی باشد که البته این شرط برای اول بودن M(n) کافی نیست. مثلا اگر n را 11 بگیریم که خود عدد اولی است، عدد مرسن 2047 حاصل میشود که عدد اولی نیست و بر 23 بخش پذیر است. اعداد اول مرسن به ترتیب زیر شروع میشوند:
1و3و7و31و...
نکته جالب در مورد اعداد اول مرسن این است که اگر آنها را به مبنای دو ببریم عدد حاصل فقط شامل 1 خواهد بود:
1 = 1 در مبنای دو
3 = 11 در مبنای دو
7 = 111 در مبنای دو
31 = 11111 در مبنای دو
بطور کلی برای نمایش عدد اول مرسن (2^n)-1 در مبنای دو کافیست n بار عدد 1 را در کنار هم بنویسیم!
یافتن اعداد اول مرسن سالهاست دانشمندان و ریاضیدانان بسیاری را سرگرم خود کرده است. تا بحال 44 عدد اول مرسن در دنیا کشف شده است که آخرین آن در اواخر سال 2006 بوده است و عبارتست از: 1- (32582657^2) و دارای 9808358 عدد میباشد. برای نمایش این عدد در یک نرم افزار واژه پرداز معمولی اگر از فونت تایم با سایز 12 استفاده کنیم فایلی با 2769 صفحه ایجاد خواهد شد. برای محاسبه این اعداد همواره از پیچیده ترین و جدیدترین جنبه های محاسبات کامپیوتری استفاده شده است. در مورد تعداد اعداد اول مرسن نیز هنوز کسی نتوانسته است اثبات کند که آیا این اعداد اول تمام شدنی هستند یا خیر!