مجموعه مرجع

تاریخچه

از زمانی که کانتور به سال 1895 برای نخستین بار نظریه مجموعه‌ها را ارائه کرد تا زمانی که براتراندراسل در سال 1902 پارادوکس راسل را بیان کرد، وجود مجموعه جهانی مطلق ، فرضی مسلم بود. با ارائه پادادوکس راسل انقلابی در ریاضیات و در میان ریاضیدانان برپا شد.

پارادوکس راسل که راسل بیان کرد این بود که وجود مجموعه تمام مجموعه‌ها به تناقض منجر می‌شود. برای حل این تناقض خود راسل و دوست و دانشمند دیگری به نام وایتهد در کتاب اصول ریاضیات و همین طور ریاضیدانان دیگری دست به کار شدند. راسل در کتاب اصول ریاضیات به این مطلب اشاره می‌کند که پایه و اساس تمام تناقضات در بسیاری اصل دور باطل می‌باشد. سوالی که مطرح بود به این ترتیب است که:

آیا همان طور که مجموعه یکتایی تهی وجود دارد. مجموعه‌ای بسیار بزرگ و یکتا به نام مجموعه مرجع می‌تواند وجود وجود داشته باشد که در برگیرنده تمام مجموعه و همه اشیا بدون قید و شرط باشد؟

اگر بتوانیم چنین مجموعه‌ای را فرض کنیم آنگاه باید بتوانیم آن مجموعه را در دسته همه اشیا قرار دهیم لذا مجموعه‌ای می‌یابیم با خاصیت u! ولی با توجه به این که اکثرا مجموعه‌های با بعضی به خودشان تعلق ندارد، دچار مشکل می‌شویم. برای رهایی از این کلاف سردرگم دو لم به ظاهر متناقض زیر را که پارادوکس راس را بین می‌کنند در پایین می‌آوریم:

لم اول: فرض کنید u مجموعه تمام مجموعه‌ها وجود دارد. فرض کنید: آنگاه: .

لم دوم: فرض کنید u مجموعه تمام مجموعه‌ها وجود دارد. فرض کنید: آنگاه: .

با توجه به دو لم اخیر مجموعه تمام مجموعه‌ها نمی‌تواند بطور مطلق وجود داشته باشد، زیرا در غیر اینصورت به تناقض فوق منجر می‌شود و در مفهوم متناقض نمی‌توانند در یک ظرف جمع باشند.