معرفی یک دنباله جالب در به هم رساندن اعداد طبیعی به یکدیگر در حالت حدی با استفاده از یک ذره واسط

به دنباله زیر توجه کنید:
1,n^n,1/(n^n),(n^2n),1/(n^3n),(n^5n),1/(n^8n),……. (n€IN) ^IS THE SYMBOL OF POWER
به غیر از دو جمله اول که مقادیر ثابت دنباله هستند از جمله سوم به بعدجمله nام از تقسیم دو جمله قبلی بدست می آید.
U(n)=u(n-2)/u(n-1)
اینک به بررسی خصوصیات این دنباله می پردازیم:
الف)واگرایی یا همگرایی دنباله:این دنباله به ازای n=1دنباله ثابت 1خواهد شدودر این حالت خاص به خود 1 همگرا ست.در غیر این صورت و به ازایn>1دنباله به دو تکه نزولی اکید و صعودی اکید تقسیم می شود.در واقع یک زیر دنباله به ∞و دیگری به صفر همگرا می شود.ولی چون یک زیر دنباله واگرا دارد لذا کل دنباله نیز واگرا می شود(اثبات به عهده خواننده)
ب)رابطه بین توان های ایجاد شده در دنباله:اگر کمی با دقت به توان های دنباله نگاه کنیم متوجه خواهیم شدکه از جمله دوم به بعد توان های جملات پیرو دنباله فیبوناتچی هستند.در واقع این دنباله را می توان دنباله ای توان ساز از جملات دنباله فیبوناتچی دانست.
جملات فرد این دنباله کسری و جملات زوج آن صحیح است.
U(2n€IN),U(2n+1€Q)
مثال)جمله یازدهم این دنباله چند برابر جمله دوم است؟
U(11)=1/(n^59n) ,u(2)=n^n →u(11)/u(2)=1/n^60n
ج)تقابل ازدیاد وکاهش ناگهانی جملات دنباله:جملات زوج این دنباله ازدیاد وحشتناکی دارند به گونه ای که مثلا جمله دهم دنباله(n^34n) n^33n برابر جمله دوم(n^n)است.به این شکل جملات زوج سیر صعودی ناگهانی دارندواگر n عدد بزرگی فرض شود با تعداد مراحل اندک می توان اعداد بزرگی ساخت و دامنه بزرگی از اعداد را تحت پوشش قرار داد.درجملات فرد هم دایما به اعداد کوچک وبسیار کوچکی می رسیم واین تقابلی زیبا بین رشد وکاهش ناگهانی جملات است.

د)عضو کاتالیزور در دنباله:گفتیم در ازای n=1دنباله تبدیل به دنباله ثابت 1 می شود.در غیر این صورت به ازای هیچ nای 1 پدید نمی آید.در حالی که 1 عامل بوجود آمدن دنباله می شود درپایان نیز بدون تغییر باقی می ماند و عضوی خنثی در دنباله محسوب می شودکه نقش کاتالیزور در دنباله را داراست.(کاتالیزور عاملی است که سرعت یک فرآیند را افزایش می دهد بدون آنکه در فرآیند مصرف شود).
حذف این جمله در پایان خللی به دنباله وارد نمی کند.