مجله ریاضی: جبر و آنالیز

می گویند در روزگاران پیش نقشه کشی از این واقعیت آگاه بودند که هر نقشه جغرافیایی مسطح یا کروی را می توان با حداکثر چهار رنگ طوری رنگ کرد که مناطق مجاور رنگهای متفاوت داشته باشند.شاید هم مساله چهاررنگ از تراوشات ذهن ریاضیدانان باشد.به هر تقدیر نخستین مرجع مکتوب این مساله نامه مورج 23اکتبر1852میلادی ا.دمورگن به ویلیام همیلتن است.
مساله چهار رنگ که به مرض چهاررنگ هم شهرت یافت بیش از یک قرن به طور جدی ذهن بسیاری را به خود مشغول داشت و در نظریه گرافها معادلهای بسیاری برای ان مطرح شد.
سرانجام در سال 1997میلادی ک.آپل و و هکن با استفاده از قضیه های فراوان و 1200 ساعت از وقت یکی از سریعترین کامپیوترهای زمان این مساله سرکش را مهار و ((قضیه)) چهاررنگ را ((ثابت)) کرد. اما هنوز هم مرض چهاررنگ شیوع دارد و بسیاری به فکر ارایه اثباتی سنتی و حتی الامکان ساده برای آن هستند.

درخت و ماتریس

درخت در رشته های مختلفی مانند شیمی مهندسی برق و علم محاسبه کاربرد دارد .
کرشهف در سال 1847 میلادی هنگام حل دستگاههای معادلات خطی مربوط به شبکه های الکتریکی درختها را کشف و نظریه درختها را بارور کرد.

کیلی در سال 1857 میلادی درختها را در ارتباط با شمارش ایزومرهای مختلف هیدروکربنها کشف کرد
وقتی مثلا میگوییم در ایزومر مختلف c4h10 وجود دارد منظورمان این است که دو درخت متفاوت با 14 راس وجود دارند که درجه 4 راس از این 14 راس جهار و درجه هر یک از 10 راس باقیمانده یک است.
اگر هزینه کشیدن مثلا راه آهن بین هر دو شهر ازp شهر مفروض مشحص باشد ارزانترین شبکه ای که ای p شهر را به هم وصل میکند با مفهوم یک درخت از مربته p ارتباط نزدیک دارد.
به جای مساله مربوط به راه آهن میتوان وضعیت مربوط به شبکه های برق رسانی و لوله کشی نفت و لوکشی گاز و ایجاد کانالهای آبرسانی را در نظر گرفت .
برای تعیین یک شبکه با نازلترین هزینه از قاعده ای به نام الگوریتم صرفه جویی استفاده میشود که کاربردهای فراوان دارد.

دستگاه اعداد رمزی

دستگاه اعداد رمزی را ابتدا یونانیها به کار گرفتند .در این دستگاه اعداد را با حروف نمایش میدادند
در دوره بعد از ظهور اسلام نیز به وفور از حروف ابجد استفاده میشد و محاسباتی با آنها صورت میگرفت. این طریق محاسبه را حساب جمل میگویند و جدول آن به شرح زیر است :



http://minag.persiangig.com/image/riyazi/AADAD.bmp

حساب جمل ( حساب ابجد) در ضبط تاریخ حوادث به عنوان ماده تاریخ به کار میرود

معادله سیاله

برای اعداد طبیعی n>2 معادله سیاله x^n+y^n=z^n هیچ جواب غیر بدیهی در بین عاداد صحیح ندارد.
بسیاری از مطالعات و پیشرفتهای نظریه اعداد مدیون تلاش برای حل این مساله بوده که فرما در قرن هفدهم در حاشیه کتاب حساب دیوفانتوسی خود ادعا کرده که این مساله را حل کرده است.
در سال 1993 با استفاده از نظریه های پیشرفته ریای آندرو وایلز حلی برای آن ارائه کرد که پس از چندی اشکالی در آن چیدا شد .
ولی سرانجام در سپتامبر 1994( شهریور ماه 1373 ) اشکال این حل به وسیله خود وایلز و با همکاری یکی از همکارانش به نام تیلر برطرف شد

مربع وفقی

مربع وفقی یکی از ساحتارهای ترکیباتی است که ریاضی دانان شرق در باره آن کارهای بسیاری انجام داده اند و روشهای ساخت این مربعها برای اندازه های مختلف منسوب به این دانشمندان است.
اصولا ساختارهای ترکیباتی یکی از مهمترین مباحث ترکیبات است که دارای کاربردهای فراوان نیز هستند.
از مهمترین ساختارهای ترکیباتی مربعهای لاتین و طرحهای بلوکی است .
یک مربع لاتین عبارت است از یک ماترین n x n با درایه های 1,2,3,...,n به طوری که در هر سطر و در هر ستون درایه های تکراری نباشند.
مربعهای لاتین با مربعهای وفقی نیز ارتباط دارند یکی از کاربرد های مربعهای لاتین در مبحث رمزنگاری است .
به ازای هر n داده شده میتوان یک مربع لاتین از مرتبه n ساخت . از مربعهایی که در زیر به ازای n=4 , n=5 ساخته شده اند میتوان به راحتی برای حالت کلی نیز ایده گرفت.



http://minag.persiangig.com/image/ri...a%20vefghi.GIF

دقت کنید که در هر دو مربع فوق بعضی از درایه های واقع در دو گوشه چپ بالا و راست پایین را با دایره قرمز مشخص کرده ایم
در مربع اول 4تا و در مربع دوم 6 تا از این درایه ها مشخص شده اند
جالب اینجاست که اگر در هر یک از این دو مربع فقط این درایه ها را به ما بدهند میتوانیم بقیه درایه های را به طور یکتا به دست آوریم.
تعداد درایه های مشخص شده در حالت کلی جزء صحیح n^2/4 است حال فرض کنید درایه های یک مربع لاتین اصلاعاتی است که میخواهید به یک شخص مورد اعتماد خود بدهید .
یک مربع n x n از n^2 اطلاعات تشکیل میشود .الگوی فوق پیشنهاد میکند که فقط کافی است که حدود1/4 از اطلاعات را منتقل کنید شخص مورد اعتماد میتواند بقیه را به طور یکتا پیدا کند

استقراي رياضي

از زمانهاي قديم ايده هاي استقرا وجود داشته از آن استفاده ميشده است. با اين حال اثبات به کمک استقرا از اوايل قرن شانزدهم ميلادي متداول شده است و توسط بعضي از رياضيدانان اروپايي مورد استفاده قرار گرفته است . در قرن هفدهم فرما رياضيدان مشهور استفاده از استقرا را با تنوع بيشتري مطرح ساخت . ولي اصطلاح استقراي رياضي در اوايل قرن نوزدهم توسط دمرگان رياضيدانان انگليسي به کار رفت و روش استقرا در اثباتهاي رياضي به طور مدون مورد استفاده قرار گرفت.

نظريه مجموعه ها

نظريه مجموعه ها از اواخر قرن نوزدهم و اوايل قرن بيستم ميلادي مطرح شد و پس از مدتي به عنوان مباني رياضيات جايگاه ويژه اي پيدا کرد.
رياضيدانان گوناگوني در تحکيم اين نظريه فعاليت داشته اند ولي رياضيدانان آلماني گ.کانتور در اين مورد نقشي اساسي داشت . کانتور در سن پترزبورگ (روسيه) متولد شد , خانواده اش در طفوليت وي به آلمان مهاجرت کرد و در سالهاي 1872 الي 1913 استاد دانشگاه هالد در آلمان بود و در اين دوران آثار عميق خود را در نظريه مجموعه ها تاليف کرد.

آزمون استدلال کردن

همه ميدانند که اگر کسي جواب معما را به شما گفته باشد حل آن ساده خواهد بود . به سادگي ميتون گفت که اين عمل يک آزمون حافظه است . فقط در صورتي ميتونيد ادعا کنيد يک رياضيدان هستيد که معماهايي را که قبلا هرگز مطالعه نکرده ايد حل کنيد . اين يک آزمون استدلال کردن است.

برهان خلف

براي استفاده از برهان خلف ( اثبات غير مستقيم ) گامهاي زير را در نظر ميگيريم :
گام1: فرض ميکنيم تنيجچه مطلوب درست نباشد .
گام2: نشان ميدهيم که اين فر نتيجه اي به دست مي دهد که حقايق دانسته شده را نقض ميکند.
گام3: حال که به يک تناقض رسيده ايم معلوم ميشود که فرضي که در گام اول کرده بوديم نادرست است . بنابراين نتيجه مطلوب بايد درست باشد.

انسان از چه زمانی ارقام عددی را بکار برد ؟

انجا که بر ما معلوم است در حدود ۳۰۰۰ سال پیش از میلاد مصریان قدیم ومردم بین النهرین(سرزمین بین دجله وفرات امروزیدر عراق)

علاماتی برای نوشتن اعداد داشتنداین مردمان با انکه بسیار از هم دور بودندهر مستقل موفق به اختراع یک رشته از ارقام شدند

ارقام ساده ی انها چون ۱و۲و۳ المثنایچوب وچوبخط انسانهای نخستین بود.جالب اینجاست که در بسیاریاز دستگاههای ارقام که در سراسرجهان کشف

شده استرقم یک را به صورت یک عدد کوتاه یا به شکل یک نقطه می نوشتند..lll=۳ ۴=vi ۵=v