اعداد مختلط

درس توابع مختلط يکي از دروس جذاب و پرکاربرد دوره ي کارشناسي رياضي ميباشد.در اين درس ابتدا اعداد مختلط و سپس توابع مختلط معرفي ميشوند و خواص مهم نظريه مانند مشتق و انتگرال و سريها و نگاشتها و برخي کاربردهاي آنها در ديگر زمينه هاي رياضي و ديگر دانشها بررسي ميشود.برخي نکات مفيد اين درس را بيان کرده ايم.

1.در واقع اعداد مختلط کاملترين مجموعه ي اعداد ميباشند.يعني نيازهاي ما براي حل معادلات و استفاده از داده ها و کمستهاي عددي در محاسبات با اين مجموعه ي اعداد بسته ميشود.

2.مجموعه ي اعداد مختلط مرتب نميباشد يعني در آن ترتيب بزرگي يا کوچکي اعداد را نميتوان تعريف کرد.

3.در واقع تفاوت اصلي آناليز مختلط با آناليز چند متغيره در وجود عنصر i ميباشد.و الا بسياري از خواص مشترک را ميتوانروي زوجهاي مرتب (x,y) از دو مجموعه يافت.

4.در اثباتهاي نتايج آناليز مختلط مناسب است که از فرم قطبي يا مثلثاتي اعداد مختلط بجاي صورت دکارتي استفاده نماييم.

5.به اين قضيه توجه کنيد: "هر عدد مختلط n ريشه دارد که روي يک n ضلعي منتظم به مرکز مبدا واقع مياشند." در اين قضيه،آناليز مختلط ، جبر مجرد و مقدماتي و هندسه پيوند ميخورند.

6.از اعداد مختلط در چندين مورد نتايج هندسه ي مسطحه ميتوان استفاده نمود.براي اطلاعات بيشتر به کتاب "اعداد مختط و هندسه " از مرکز نشر دانشگاهي مراجعه نماييد.

7.توابع و اعداد حقيق زير مجموعه اي از آناليز مختلط اند.پس تقريبا همه ي نتايج اينجا را ميتوا در مورد آنها به کار گرفت.مثلا اينکه "چنانچه تابعي در کل صفحه مشتقپذير باشد،آنگاه تا بينهايت بار مشتق دارد" که نتيجهاي موثر ميباشد.

8.براي رسيدن به توابع مقدماتي مختلط از روي توابع مشابه حقيقي از دو روش ميتوان استفاده نمود:اول استفاده از بسطهاي توابع مانند تيلور و مکلورن.دوم تعريف کردن آنها بصورت مشابه و با همان خواص.