عمل دوتایی

مقدمه و معرفی

شاید تابه حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می دهند. مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید "ب"، "آ" و دانش آموزان باهم فریاد می‌زنند "با". این بار معلم می‌گوید "ب"، "و" و اینبار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند "بو". و یا در مثالی دیگر در طبیعت ملکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدید می‌آورد. اینها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آنها دو عنصر شرکت کننده شی سومی را پدید می‌آورند. اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهمترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آنها را بررسی می‌کنیم.
عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...019d218e74.png از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو چون C از G را نسبت می‌دهد. لازم به ذکر است که http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7261321ddc.png. با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:

• عمل دوتایی روی کل دامنه خود یعنی G×G تعریف شده باشد.
• عمل دوتایی * یک تابع خوش‌تعریف از G×G به توی G باشد یعنی به هر عضو http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7ee2c5bb00.png عنصر یکتایی از G را نسبت می‌دهد.
• حاصل ترکیب دو عضو (a,b) تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به G باشد. به عبارت دیگر مجموعه G نسبت به عمل دوتایی خود بسته باشد.
• عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی * می‌شود، معمولا با * یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6bbaaeb410.png نمایش میدهیم.

اگر * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*,G) برای هر (a,b) عضو G×G حاصل عمل * روی (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می دهیم و معمولا برای سهولت در نوشتن a*b را به صورت ab می‌نویسیم. همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه‌ را با دو نماد جمعی + و ضربی . نشان می‌دهیم که نباید آنها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد. اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل عمل را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b نشان می‌دهیم.
نمونه‌هایی از اعمال دوتایی

• مجموعه اعداد صحیح را در نظر بگیرید ، http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...11613b9307.png را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...2e7e3c8073.png به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
• مجموعه اعداد طبیعی N را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...69a737d34b.png اما عمل فوق در Z و Q عمل دوتایی نمی‌باشد.(چرا؟) ولی در R عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.
• عمل * را در مجموعه A به صورت زیر تعریف می‌کنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...deefab621c.png عمل * در A=Q یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود که متعلق به Q نیست. همچنین است درباره َA=R .

بسته بودن نسبت به یک عمل دوتایی

مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی Z برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. حال مجموعه اعداد صحیح زوج http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...60fe196e90.png که زیرمجموعه‌ای از Z است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج عدی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است. به عبارت برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7848b10a24.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1fc9dedd5c.png در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته است. اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست. مثلا مجموعه اعداد صحیح فرد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...530078899b.png را در نظر بگیرید. مجموعه دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...0691558069.png داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...af09a18bb3.png. در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.

اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...e007b29587.png گوییم E تحت عمل G بسته است در صورتیکه به ازای هر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...a7e939a0b5.png داشته باشیم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...d531d96239.png به عنوان مثال:

• مجموعه های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...ac55a92aba.png تحت عمل جمع بسته می‌باشند.
• مجموعه های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...6d6e0bb181.png تحت عمل تقسیم بسته نیستند.

ویژگی‌های عمل دوتایی

یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد که به بررسی آنها می‌پردازیم:
خاصیت شرکت پذیری

فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت پذیر است هرگاه برای هر a,b,c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...97a932af0a.png به عنوان مثال:

• در Z عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...f63bb381fe.png Z تحت عمل * شرکت پذیر است.
• روی مجموعه Z عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم : http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...727d73044b.png عمل * روی Z خاصیت شرکت پذیری دارد.
• عمل تفاضل در R خاصیت شرکت پذیری ندارد.

نیم‌گروه

مجموعه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...1ebbb5a525.png یک نیم‌گروه است هر گاه عمل * روی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال:

• N تحت جمع نیم‌گروه است.
• Z تحت تفاضل نیم‌گروه نیست.
• هرگاه F مجموعه توابع پیوسته به روی R باشد ، آنگاه F تحت عمل جمع ، یک نیم‌گروه است.
• مجموعه توابع تعریف شده روی R تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیم‌گروه است.

خاصیت جابجایی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابجایی می‌گوییم هر‌گاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a. به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابجایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جاجایی نمی‌باشد.
عضو خنثی

فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متلقع به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a
اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=a آنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم. به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد. پاسخ در قضیه زیر است که می گوید:
قضیه: عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود منحصر بفرد است.

• برهان: فرض کنید (*,G) یک ساختمان جبری با دو عضو خنثی e و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c69966fe50.png باشد. در این صورت چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c180872faa.png و e عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...162fcd2733.png. و چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...cbee81e09d.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...c69966fe50.png عضو خنثی G است داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...8f7f3f7cf1.png که دو تساوی اخیر نشان می دهد http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/i...7e0df45552.png و حکم ثابت می شود.

عضو وارون

فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e. همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر b چنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.