آخه ١٠- ^ ١٠ هم شد عدد؟!!!

آخه ١٠- ^ ١٠ هم شد عدد؟!!!

1- وقتی داریم متنهای ریاضی رو مطالعه میکنیم گهگاه به اعداد بسیار کوچک برمیخوریم مثلا ده به توان منفی نه (یک میلیونم) اما واقعا عددی به این کوچکی چه اهمیتی میتونه داشته باشه؟ حتی برای چیز با ارزشی مثل طلا هم یک میلیونم گرم در عمل هیچه!!! پس چرا در ریاضیات سر و کله ی این اعداد ناچیز پیدا میشه و آیا صرفا این اعداد اهمیت تئوریک دارند یا در عمل هم دارای اهمیت هستن؟

2- مسابقات ورزشی رو در نظر بگیرید که در اونها زمان برنده و بازنده رو مشخص میکنه،مثلا شنا یا دومیدانی.دستگاههای ثبت رکورد در این مسابقات رکورد ورزشکارها رو تا دقت تا یک صدم ثانیه میتونه ثبت کنه. فرض کنید ورزشکاری رکورد قبلی جهان رو نیم صدم ثانیه بهبود ببخشه اما چون دقت دستگاهها یک صدم ثانیست این رکورد هرگز به درستی ثبت نخواهد شد و یک عمر زحمت ورزشکاری از بین میره !!! شاید بگین ده به توان منفی دو زیاد هم کوچک نیست اما خطاهای کمتر از این هم میتونن بسیار پر هزینه تر باشند!!!

3- فرض کنید قراره آپارتمانی قدیمی بوسیله انفجار تخریب بشه.مواد منفجره مورد نیاز برای این کار ترکیبی از چند ماده مختلف هستن که بسته به نیروی لازم برای انفجار ِ یک دایره به شعاع r،تحت فرمول ریاضی مشخصی با هم ترکیب میشن مثلا فرض کنید این فرمول بصورت r*a*b/c باشه که a و b و c مقدار سه ماده ای باشند که باید با هم ترکیب بشن(بر حسب کیلوگرم)فرض کنید ماده ی c که در مخرج فرمول بکار رفته ماده ای باشه که از پخش نیروی انفجار خارج از محیط دایره ی مورد نظر جلوگیری میکنه.این ماده بسیار گران قیمته و مقدار بسیار اندکی از اون در حد یک گرم (٣- ^١٠ کیلوگرم) در ترکیب ماده منفجره بکار میره.اشتباه کوچکی در محاسبات باعث میشه بجای یک گرم،نیم گرم از این ماده مورد استفاده قرار بگیره.خطای انجام شده فقط مقدار ناچیز ۴- ^١٠*۵ است اما چون عدد c در مخرج قرار داره این مقدار ناچیز تبدیل به ۴^١٠*۲/٠ = ٣^١٠*۲ میشه(بجای اینکه تبدیل به ٣^١٠ بشه) در نتیجه شعاع انفجار ۲ برابر میشه و تعداد زیادی از ساختمانهای اطراف رو تخریب خواهد کرد!!!

4- حتما در مورد سیستمهای آشوبناک و حساسیت نسبت به شرط اولیه چیزهایی شنیدین.حساسیت نسبت به شرط اولیه یعنی اینکه اگر سیستم آشوبناک شما که وابسته به زمان هم هست به فرم (f(x,tباشه و شما دو مقدار بسیار نزدیک x1 و x2 رو در نظر بگیرید که اختلافشون کمتر از ۶- ^١٠ باشه(x1-x2| <10^-6| ) زمانی مثل T وجود خواهد داشت که فاصله ی این دو نقطه ی فوق العاده به هم نزدیک،تحت تابع f از مقداری مثل s که میتونه عدد بسیار بزرگی هم باشه،بزرگتر خواهد شد (f(x1,T)-f(x2,t) |>s|) همین خاصیت موجب میشه که اختلاف کم در شرایط اولیه منجر به تغییرات شدید در نتایج بشه.فرض کنید خطایی در حد 6- ^10 در پیش بینی وضعیت هوا که یک سیستم آشوبناکه،منجر به پیش بینی هوایی صاف و آفتابی در هفته ی آینده بشه.وقتی در هفته ی بعد طوفان سهمگینی براه افتاد کسی خواهد گفت ۶- ^١٠عدد بی اهمیتیه؟!!!

5- یک دستگاه محور مختصات xy رسم کنید و سعی کنید تابع y=0.01x رو در بازه [0,1] برای x و [0,1] برای y رسم کنید(مقیاس مساوی برای x و y) اگه این کار رو با یک خط کش معمولی انجام بدین خواهید دید که عملا غیر ممکنه که این تابع رو از محور x ها تفکیک کنیم و هنگام رسم تابع y بر محور x ها منطبق میشه، اما ما میدونیم که تابع y و محور x یکی نیستن!!! این اتفاق بخاطر پایین بودن دقت لوازمیه که برای ترسیم ازشون استفاده میکنیم و این پایین بودن دقت موجب بروز خطا میشه.حالا اگه تابع y=0.01x رو در در بازه
[0,5] برای x و [0,1] برای y رسم کنید(مقیاس نامساوی برای x و y) می بینید که در ابتدا تابع روی محور x ها مماسه ولی رفته رفته و با افزایش x از محور x ها جدا میشه. و اگر بازه [0,50] رو برای x در نظر بگیرید تابع کاملا از محور x ها جدا میشه و هر چه x بیشتر افزایش پیدا کنه فاصله ی تابع از محور x ها بیشتر و بیشتر میشه.برای دیدن این اتقاق میتونین از یک نرم افزار سمبلیک ریاضی مثل Mathemtica یا Maple استفاده کنید،دستور برنامه متمکتیکا برای این کار به شکل زیر است:

[{Plot[0.01*x,{x,0,1},PlotRange->{0,1

[{Plot[0.01*x,{x,0,5},PlotRange->{0,1

[{Plot[0.01*x,{x,0,50},PlotRange->{0,1

میتویند با زدن دگمه های Shift و Enter بطور همزمان،هر سه شکل رو مشاهده کنید.

6- فرض کنید یک مریخ پیما میخواد راهی این سیاره بشه.با توجه به مسافت طولانی بین زمین و مریخ،دانشمندان طوری برنامه ریزی میکنن که با توجه چرخش این دو سیاره دور خورشید،مریخ پیما با سرعتی مشخص کوتاهترین مسیر ممکن بین زمین و مریخ (400 میلیون کیلومتر!!!) رو روی خطی مستقیم طی کنه تا به مریخ برسه.فرض کنید اون خط مستقیم محور ایکس ها باشه اما خطای بسیار کوچکی در عمل باعث بشه که این سفینه بجای مسیر کاملا مستقیم مسیری تقریبا مستقیم( f(x)=10^-9x ) رو طی کنه.نمودار تابع (f(x در بازه [٨ ^١٠*۴/٠] برای x و [0,1] برای y رسم کنید تا ببینید با اینکه ٩- ^١٠ تقریبا برابر با صفره چه اتفاقی میتونه بیفته:

[{Plot[10^-9*x,{x,0,4*10^8},PlotRange->{0,1

مریخ پیما 400 متر از مسیرش منحرف میشه و با توجه به سرعت حرکت مریخ دور خورشید(24 کیلومتر در ثانیه) مریخ پیما از کنار این سیاره عبور خواهد کرد و میلیونها دلار هزینه و سالها تلاش شبانه روزی دانشمندان بر باد خواهد رفت!!!

7- بی جهت نیست که تلاش اصلی علمی مثل آنالیز عددی ارائه ی روشهاییه که خطای کمتر و کمتری داشته باشند حتی اگر این بهبود خطا در حد ده به توان منفی 10 باشه!!!