درونیابی و تقریب

صرفه جویی در وقت و هزینه

1- سرشماری جمعیت،کار عظیم ووقت گیر و پرهزینه ایه مخصوصا برای کشورهایی با ده ها میلیون جمعیت،انجام دادن سرشماری در هر سال کار غیر معقولیه به همین خاطر این کار رو هر ده سال یک بار انجام میدن. اطلاعات حاصل از سرشماری بسیار ارزشمنده و برای برنامه ریزیهای کلان یک کشور یا بررسی روندی که اون کشور در مورد مسائل مختلف در حال طی کردنشه یا پیش بینی اتفاقات آینده،مورد استفاده قرار میگیره.حالا اگر بتونیم بجای اینکه این اطلاعات رو ده سال به ده سال داشته باشیم،سال به سال یا حتی ماه به ماه داشته باشیم این مسئله میتونه در روند رو به رشد جامعه بسیار بسیار مفید باشه،اما همونطور که گفته شد انجام سرشماری با بازه های زمانی کمتر از ده سال به دردسرهاش نمی ارزه.آیا راهی نیست که سرشماری رو ده سال یکبار انجام بدیم اما از همون اطلاعات برای بدست آوردن اطلاعات سالیانه یا حتی ماهیانه استفاده کنیم؟



2- اجازه بدید کمی دقیق تر به این مسئله نگاه کنیم.فرض کنید یک نمودار داریم که محور x اون سالها رو نشون میده و محور y اون جمعیت یک کشور رو در هر سال.سرشماری انجام شده در هر ده سال یک نقطه رو در اون نمودار مشخص میکنه.فرض کنید طی 50 سال 5 سرشماری انجام شده پس ما 5 نقطه روی این نمودار داریم اما اگه بتونیم به نوعی این نقاط رو به هم وصل کنیم میتونیم تابع جمعیت در سال رو پیدا کنیم و با کمک اون تابع،جمعیت رو در هر سال یا ماهی (خارج از زمان سرشماری)مشخص کنیم.به این اتصال نقاط به هم برای ساختن تابع،درونیابی (Interpolation) میگن.



3- درونیابی در جاهای مختلفی مورد استفاده قرار میگیره مثلا فرض کنید شرکتی میخواد در یک مناقصه ی سود آور جهت ساخت یک بزرگراه شرکت کنه.مسیر طولانی و هزینه ها در حد چندین میلیارد تومانه.این شرکت از کجا میتونه بفهمه که برای ساخت این بزرگراه چه مقدار خاکبرداری و خاکریزی لازمه تا هزینه ها رو مشخص کنه و هزینه ی پیشنهادیش رو در مناقصه ارائه کنه؟ تنها راه استفاده از درونیابیه. متخصصین نقشه برداری اون شرکت،طول و عرض و ارتفاع چندین نقطه از مسیر رو محاسبه میکنن و به کمک این اطلاعات و درونیابی،به یک نقشه ی سه بعدی ازمسیر دست پیدا میکنن که دیگه با اون براحتی میشه هزینه ها رو برآورد کرد و در مناقصه برنده شد!!!



4- سر و کله ی درونیابی در بسیاری از آزمایشهای هزینه بر یا زمان بر هم پیدا میشه. مثلا فرض کنید مجبور باشید مقداری طلا رو در محلولی حل کنید و دمای واکنش حاصل از حل طلا در محلول رو اندازه بگیرید.در این حالت هر چه تعداد آزمایشهاتون کمتر باشه هزینتون کمتره پس اینجا هر چه درونیاب دقیق تری داشته باشید میتونین هزینه کار رو پایین تر ببرید.یا ممکنه برنامه ای کامپیوتری نوشتید که پارامتر خاصی رو به عنوان ورودی می گیره و عدد خاصی رو به عنوان خروجی به شما میده و اجرای این برنامه هم ساعتها طول میکشه.خب طبیعیه که شما نمیتونین پارامتر ورودیتون رو به میزان کمی افزایش بدین و برنامتون رو اجرا کنید چون این کار میتونه هفته ها وقتتون رو بگیره پس پارامترتون رو زیاد افزایش میدین و بعدا از دورنیابی استفاده می کنید.



5- در گذشته هم درونیابی اهمیت زیادی داشت چرا که مثل الان،ماشین حسابهای پیشرفته و کامپیوتر و نرم افزارهای قدرتمند ریاضی در دسترس نبود.در اون روزها برای بدست آوردن جدول سینوس یا لگاریتم که کار زمان بر و دشواری بود تنها مقادیر خاصی(مثلا اعداد حسابی 0 و 1 و 2 و ..) رو در نظر میگرفتن و اطلاعات رو بصورت جدولی ارائه میکردن.حالا اگه یه نفر سینوس یا لگاریتم مقداری اعشاری رو میخواست باید از درونیابها استفاده می کرد.

درونیابی چه فرقی با تقریب داره؟!!!

6- حالا که این همه راجع به اهمیت درونیابی صحبت کردیم، فرض کنید چند نقطه که باید برای درونیابی مورد استفاده قرار بگیرند رو پیدا کردین و حالا هدفتون وصل کردن اون نقاط به هم و بدست آوردن یک تابع درونیابیه که تا حد ممکن رفتاری شبیه تابع اصلی داشته باشه . ساده ترین راه برای اتصال نقاط به هم اینه که اونها رو با یک خط مستقیم به هم وصل کنیم (درونیابی خطی) اما آیا مثلا در مثال سرشماری، رشد جمعیت خطی بوده؟ نه الزاما !!! ممکنه در سال خاصی یک بلای طبیعی یا بیماری همه گیر یا مهاجرت رخ داده باشه و جمعیت در اون سال بطور غیر خطی افزایش یا کاهش پیدا کرده باشه پس اتصال نقاط بطور خطی میتونه خطای زیادی داشته باشه پس بهتره راههای دیگه ای رو امتحان کنیم.



7- اگه تابع رو طوری بسازیم که بصورت یک چند جمله ای باشه، چند مزیت بزرگ خواهیم داشت.چند جمله ایها، توابع شناخته شده ای هستند و کار باهاشون راحته و براحتی میتونیم مشتق و انتگرالشون رو بگیریم. راههای زیادی برای بدست آوردن چند جمله ای درونیاب وجود داره مثل روش لاگرانژ،روش نیوتون،روش نویل و روش هرمیت. همینطور میتونیم درونیابی رو با توابعی بجز چند جمله ایها انجام بدیم مثلا درونیابی گویا که در اون تابع بصورت کسری که در صورت و مخرجش چند جمله ای قرار داره، محاسبه میشه یا چند جمله ای نمایی یا مثلثاتی که بترتیب از توابع نمایی و مثلثاتی(سینوس و کسینوس) برای درونیابی استفاده می کنند.



8- درونیابی به روشهای اخیر دو مشکل بزرگ داره.اول اینکه ممکنه نوسانات تابع درونیاب (علی الخصوص برای درونیاب چند جمله ای با درجه بالا) خیلی زیاد بشه و خطای درونیابی به شدت بالا بره.دوم هم اینکه اگه ما یک نقطه به نقاط اولیه اضافه کنیم (مثلا اطلاعات یک سال دیگه رو به اطلاعات سرشماری اضافه کنیم) تابع درونیاب بدست اومده کلا عوض میشه!!! برای رفع این مشکل از درونیابی با اسپلاینها استفاده میشه.اسپلاینها بر خلاف درونیابهای گفته شده که اطلاعات رو بطور سراسری (global) درونیابی می کردن،اطلاعات رو بطور موضعی (local) درونیابی می کنند. اسپلاینهای مکعبی(Cubic Spline) و بی-اسپلاین ها(B-Spline) امروزه کاربردهای بسیاری در مقاصد عملی مثل مدل سازی های پزشکی،صنایع اتومبیل سازی، گرافیک کامپیوتر و پردازش تصاویر دارند.



9- در بعضی موارد نقاط بدست آمده طی آزمایش که برای پیدا کردن تابع درونیاب مورد استفاده قرار می گیرند بگونه ای هستند که اگر از درونیابی استفاده کنیم(یعنی تابع را دقیقا از نقاطی که طی آزمایش بدست آمده عبور دهیم) تابع فرمی پیچیده پیدا میکند مثلا در بعضی نقاط مشتق پذیر نیست (تابع در اون نقطه به شکل نوک تیز است) یا نوسانات زیادی دارد. اینجاست که بجای درونیابی از تقریب(Approximation) استفاده میکنیم یعنی بجای اینکه تابع را دقیقا از نقاط عبور دهیم و به تابعی پیچیده برسیم، تابع را از بین نقاط برازش می کنیم یعنی تابع را بگونه ای میسازیم که بجای اینکه دقیقا از نقاط عبور کند از نزدیک نقاط عبور کند اما در عوض تابع حاصله فرمی ساده داشته باشد تا کار با آن آسان باشد.



10- جالب آنکه گاهی ما خود تابع را داریم اما در کارهایمان به علت پیچیدگی آن تابع، از تقریبش بجای خود آن تابع استفاده می کنیم.مشهورترین روش تقریب، تقریب کمترین مربعات است. در این روش تابع تقریب، بگونه ای انتخاب می شود که فاصله ی آن تا نقاط، می نیمم شود.این روش وزن یکسانی را در طول بازه ی تقریب اعمال می کند که ممکن است منجر به خطای زیاد در تقریب شود.در این حالت از تقریب کمترین مربعات وزن دار استفاده می شود تا خطای تقریب کاهش یابد.