قضیه نگاشت باز

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر A : X → Y عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

* اگر A : X → Y یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A-1 : Y → X یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
* اگر A : X → Y یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (xn) در X با xn → 0 و Axn → y تابعیت می‌کند که y = 0، آنگاه A پیوسته است (قضیه نمودار بسته).


در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می‌کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط C باشد و f : U → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است(زیر مجموعه‌های باز U را به زیرمجموعه‌های باز C می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.

برهان

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در f(U) یک نقطهٔ داخلی f(U) باشد آنگاه f(U) باز است. بنابراین اگر هر نقطه در f(U) که محتوی یک دیسک است ، شامل f(U) باشد آنگاه f(U) باز است.

اطراف هر نقطه در U، یک گوی مناسب در U وجود دارد. یک z0 دلخواه در U و نقطهٔ تصویر آن w0 = f(z0) را در نظر بگیرید. اگر f(z0) − w0 = 0 آنگاه z0 یک ریشه تابع f(z) − w0 است. تابع f(z) − w0 ممکن است ریشه دیگری در فاصله d1 از z0 داشته باشد.فاصله از z0 تا یک نقطه که در U نیست نوشته می‌شود d2. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم d1 و d2 داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا d1,d2 > 0.

گوی B2 را اطراف w0 با شعاع e و عناصر w در نظر می گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع f(z) − w0 و f(z) − w برای هر w با فاصله e از f(z0)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید z1 ریشه یا یکی از ریشه‌های f(z) − w باشد. بنابراین، برای هر w در B2، یک z1 در B وجود دارد که f(z1) = w، تصویر B2 یک زیر مجموعه از تصویر B است که یک زیر مجموعه f(U) است. پس w یک نقطه درونی f(U) بای هر w دلخواه، و قضیه ثابت شده است.