تابع دیریکله

اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می‌کنند:

http://upload.wikimedia.org/math/e/8...ef12e5a04f.png


از جمله ویژگی‌های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه‌ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال‌پذیر هم نمی‌باشد. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

در ریاضیات، یک تابع غیرپیوسته در همه جا، که یک تابع همه جا ناپیوسته نیز خوانده می شود، یک تابع است که در هر نقطه ای از دامنه اش پیوسته نیست. اگر f یک تابع از اعداد حقیقی باشد، آنگاه (f(x در هیچ نقطه ای پیوسته نخواهد بود اگر برای هر x یک ε > 0 وجود داشته باشد به طوری که برای هر δ > 0 بتوانیم یک y پیدا کنیم به طوری که |x − y| < δ and |f(x) − f(y)| ≥ ε اهمیت این عبارت در این است که بدون توجه به اینکه ما به یک نقطه ثابت چقدر نزدیک هستیم، نقاطی نزدیکتر به نقطه مورد نظر وجود دارند به طوری که در آن نقاط تابع هیچ همسایگی ندارد.

تعریف کلی تر ایت نوع توابع را می توان با جایگرینی تابع فاصله به جای مقدار مطلق در یک فضای متری، یا با استفاده از تعریف پیوستگی در یک فضای توپولوژیک بدست آورد.

مثالی از چنین توابعی تابع شاخص اعداد گویا هستند، که با تابع دیریکله هم شناخته می شوند. این نام گذاری پس از مرگ پیتر گوستاو لژیون دیریکله ریاضیدان آلمانی انجام شد. این تابع به صورت <IQ</sub نوشته می شود و دارای دامنه و هم دامنه ای برابر با اعداد حقیقی هستند. (IQ(x برابر 1 است اگر x یک عدد گویا باشد و برابر 0 است اکر x گویا نباشد. اگر در یک سری همسایگی ها در y به تابع نگاه بیاندازیم، به دو مورد برخورد می کنیم:

* اگر y گویا باشد، آنگاه f(y) = 1. برای اینکه نشان دهیم این تابع در y پیوسته نیست، نیاز به یافتن یک ε داریم به طوری که بدون توجه به اینکه δ چقدر کوچک انتخاب شود، یک نقطه مانند z در فاصله δ از y وجود دارد به طوری که (f(z در داخل محدوده با فاصله ε از f(y) = 1 قرار نمی گیرد. در واقع 1/2 یک چنین عددی است. از آنجا که اعداد ناگویا بر روی اعداد حقیقی مجموعه متراکم به حساب می آیند، بدون توجه به δ انتخاب شده، می توانیم یک z ناگویا در فاصله δ از y و پیدا کنیم، و f(z) = 0 حداقل به اندازه 1/2 از 1 فاصله دارد.

* اگر y ناگویا باشد، آنگاه f(y) = 0. عیناً، می توانیم ε = 1/2 را انتخاب کنیم، و حال، از آنجا که اعداد گویا بر روی اعداد حقیقی فشرده هستند، می توانیم یک z را به گونه ای انتخاب کنیم که یک عدد گویا باشد و به اندازه کافی به y نزدیک باشد. بدین صورت، f(z) = 1 بیشتر از 1/2 با f(y) = 0 فاصله دارد. به عبارت ساده تر، بین هر دو عدد ناگویا، یک عدد گویا وجود دارد و بالعکس.


تابع دیریکله را می توان به صورت یک حد مقطه ای دوگانه یک توالی از توابع پیوسته بازسازی کرد:

http://upload.wikimedia.org/math/4/5...274f002718.png

که j و k اعداد صحیح هستند.

این نشان می دهد که تابع دیریکله یک تابع بیر کلاس 2 است. این تابع نمی تواند تابع بیر کلاس 1 باشد زیرا یک تابع بیر کلاس 1 تنها می تواند بر روی یک مجموعه محدود ناپیوسته باشد.

در حالت کلی، اگر E زیرمجموعه ای از فضای توپولوژیک X باشدبه طوری که هر دوی E و مکمل E چگال باشند، آنگاه تابع با مقدار حقیقی که مقدار 1 را بر روی E و 0 را بر روی مکمل E بر می چیند، هیچ جا پیوسته نخواهد بود. توابعی از این دست اصولاً توسط دیریکله مورد بررسی قرار گرفتند.