M.A.H.S.A
09-09-2011, 03:50 PM
یکی از مباحث جدید مطرح شده در علم ریاضیات، آشفتگی (chaos) است. این موضوع در محدوده دینامیک غیرخطی مورد بررسی قرار می‌گیرد. در دینامیک غیرخطی در صورتی که دو نقطه شروع مجاور داشته باشیم بعد از مدتی رفتار هر کدام از دو مسیر با یکدیگر متفاوت خواهد بود و نسبت به هم واگرا می‌شوند. در صورتی که اگر ما همین مساله را بصورت خطی در نظر می‌گرفتیم، این دو مسیر با همان اختلاف کم اولیه ادامه پیدا می کردند. در واقع اگر در یک سیستم غیرخطی نمودار رفتار شتاب - تغییر مکان که تحت عنوان phase space معرفی می‌شود را رسم کنیم و مورد ارزیابی قرار دهیم، امکان مشاهده رفتار آشفته برای ما میسر خواهد بود. شاید یکی از ساده‌ترین جاهایی که در آن می‌توان بحث آشفتگی را شناخت، در حل معادله x2 + x (1 / 1) 0 با استفاده از روش عددی نقطه ثابت باشد در واقع در حل این معادله از نگاشت (mapping) استفاده می‌شود پاسخ‌هایی که از حل عددی این معادله بدست می‌آید برای مقادیر نزدیک به 4 رفتار آشفته از خود نشان می‌دهد.
لذا یکی از مباحث مهم در طرح بحث آشفتگی نگاشت‌های Poincare است که در آن بحث آشفتگی را در رفتارهای انشعابی (bifurcation) نشان می‌دهد. در این نگاشت‌ها ما با نقاط جاذب و دافع مواجه می شویم که شباهت بسیاری با جاذب‌ها و دافع‌های موجود در phase space در سیستم‌های دینامیکی دارند. لذا در طرح بحث آشفتگی بحث phase spaceها یا فضای نمود و نیز نگاشت Poinare اهمیت فراوانی دارند. یکی از جاهایی که بحث آشفتگی مشاهده می‌شود در رفتارهای کمانشی پوسته‌ها و نیز تیرها است. در واقع آشفتگی استاتیکی نسبت به پارامتر مکانی و آشفتگی دینامیکی نسبت به پارامتر زمانی طرح می‌شود. از آنجایی که باید در این بحث نسبت به مباحث رفتار بعد از کمانش سازه (postbukling) آگاهی داشت. طرح مباحث فوق صورت گرفته است و منحنی‌های انشعابی در مورد پوسته‌ها و تیرها بدست آمده است. این بررسی به دو صورت انجام شده است اولا بررسی رفتارهای کلی سازه با استفاده از نگاشت poincare و ثانیا بررسی رفتار با استفاده از مباحث انرژی پتانسیل که در حالت وسیع‌تر به تیوری کتستروفی ارتباط پیدا می‌کند. بحث کتستروفی در سیستم‌های gradient مطرح است یعنی سیسم‌هایی که معادلات حاکمش از یک پتانسیل (انرژی پتانسیل کار) قابل بدست آوردن است. تئوری کتستروفی می‌گوید: در یک سیستم که بر آن یک تابع هموار (smooth) با حداکثر چهار پارامتر (بارگذاری یا نقص سازه‌ای) حاکم است، بصورت پایه تنها هفت نوع هندسی محلی، یکتایی‌های پایدار وجود دارد که به آنها مجموعه‌های کتستروفی گفته می‌شود. این هفت نوع مورد بحث قرار گرفته و اشکال آنها رسم شده است. بعد از یافتن معادلات حاکم بر سازه در حالت کمانش دینامیکی و استاتیکی، در حل این معادلات از روش Perturbation استفاده می‌کنیم و مشاهده می‌شود که نتایج دقیقا با نتایج بدست آمده از روش انرژی پتانسیل کل مطابقت دارد. در مرحله بعد با استفاده از روش مقیاس‌های متعدد (multiple scales) فضای آهسته S و یا زمان آهسته را تعریف می‌کنیم. در بحث آشفتگی استاتیکی این فضای آهسته S، نقش متغیر زمان در مسایل دینامیکی را ایفا می‌کند و همانگونه که ما phase spaceها یعنی منحنی‌های x-x را در دینامیک با توجه به متغیر زمان داشتیم، در اینجا هم x با توجه به فضای آهسته S تعریف می‌شود که خود یک پارامتر مکانی است. با توجه به phase spaceهای یک آونگ تحت نیرو و مشاهده نقاط هموکلینیک، هتروکلینیک و حلقه‌های جداساز (separatrix) و نیز مقایسه phase space تعریف شده در این پوسته با phase space مشاهده شده در رفتار آشفته آونگ به این نتیجه می‌رسیم که در واقع در فضای نمود مربوط به پوسته یک حلقه جداساز وجود دارد که بیانگر حساسیت بسیار زیاد نسبت به شرایط اولیه و نیز رفتار آشفته در یک پوسته است. در واقع در اینجا ما با حل‌های سولیتونی شکل مواجه می‌شویم که شکل خاص خود را دارند و خصوصیات امواج سولیتونی را دارا هستند. نکته جالب در اینجا است که این امواج سولیتونی شکل در رفتار بعد از کمانش تیر الاستیک دو سر مفصل هم مشاهده می‌شوند.
منبع: وبلاگ اسماعیل محمدی
لذا یکی از مباحث مهم در طرح بحث آشفتگی نگاشت‌های Poincare است که در آن بحث آشفتگی را در رفتارهای انشعابی (bifurcation) نشان می‌دهد. در این نگاشت‌ها ما با نقاط جاذب و دافع مواجه می شویم که شباهت بسیاری با جاذب‌ها و دافع‌های موجود در phase space در سیستم‌های دینامیکی دارند. لذا در طرح بحث آشفتگی بحث phase spaceها یا فضای نمود و نیز نگاشت Poinare اهمیت فراوانی دارند. یکی از جاهایی که بحث آشفتگی مشاهده می‌شود در رفتارهای کمانشی پوسته‌ها و نیز تیرها است. در واقع آشفتگی استاتیکی نسبت به پارامتر مکانی و آشفتگی دینامیکی نسبت به پارامتر زمانی طرح می‌شود. از آنجایی که باید در این بحث نسبت به مباحث رفتار بعد از کمانش سازه (postbukling) آگاهی داشت. طرح مباحث فوق صورت گرفته است و منحنی‌های انشعابی در مورد پوسته‌ها و تیرها بدست آمده است. این بررسی به دو صورت انجام شده است اولا بررسی رفتارهای کلی سازه با استفاده از نگاشت poincare و ثانیا بررسی رفتار با استفاده از مباحث انرژی پتانسیل که در حالت وسیع‌تر به تیوری کتستروفی ارتباط پیدا می‌کند. بحث کتستروفی در سیستم‌های gradient مطرح است یعنی سیسم‌هایی که معادلات حاکمش از یک پتانسیل (انرژی پتانسیل کار) قابل بدست آوردن است. تئوری کتستروفی می‌گوید: در یک سیستم که بر آن یک تابع هموار (smooth) با حداکثر چهار پارامتر (بارگذاری یا نقص سازه‌ای) حاکم است، بصورت پایه تنها هفت نوع هندسی محلی، یکتایی‌های پایدار وجود دارد که به آنها مجموعه‌های کتستروفی گفته می‌شود. این هفت نوع مورد بحث قرار گرفته و اشکال آنها رسم شده است. بعد از یافتن معادلات حاکم بر سازه در حالت کمانش دینامیکی و استاتیکی، در حل این معادلات از روش Perturbation استفاده می‌کنیم و مشاهده می‌شود که نتایج دقیقا با نتایج بدست آمده از روش انرژی پتانسیل کل مطابقت دارد. در مرحله بعد با استفاده از روش مقیاس‌های متعدد (multiple scales) فضای آهسته S و یا زمان آهسته را تعریف می‌کنیم. در بحث آشفتگی استاتیکی این فضای آهسته S، نقش متغیر زمان در مسایل دینامیکی را ایفا می‌کند و همانگونه که ما phase spaceها یعنی منحنی‌های x-x را در دینامیک با توجه به متغیر زمان داشتیم، در اینجا هم x با توجه به فضای آهسته S تعریف می‌شود که خود یک پارامتر مکانی است. با توجه به phase spaceهای یک آونگ تحت نیرو و مشاهده نقاط هموکلینیک، هتروکلینیک و حلقه‌های جداساز (separatrix) و نیز مقایسه phase space تعریف شده در این پوسته با phase space مشاهده شده در رفتار آشفته آونگ به این نتیجه می‌رسیم که در واقع در فضای نمود مربوط به پوسته یک حلقه جداساز وجود دارد که بیانگر حساسیت بسیار زیاد نسبت به شرایط اولیه و نیز رفتار آشفته در یک پوسته است. در واقع در اینجا ما با حل‌های سولیتونی شکل مواجه می‌شویم که شکل خاص خود را دارند و خصوصیات امواج سولیتونی را دارا هستند. نکته جالب در اینجا است که این امواج سولیتونی شکل در رفتار بعد از کمانش تیر الاستیک دو سر مفصل هم مشاهده می‌شوند.
منبع: وبلاگ اسماعیل محمدی