آشنايي با معادلات ديفرانسيل و مفاهيم اوليه

[shirin71]

معادله مشتمل بر مشتقات را معادله ديفرانسيل مي نامند . معادلات زير مثال هايي از آن هستند .



http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image002.gif

اگر همچون معادلات 1 الي 5 متغير نابسته منفردي در معادله شركت كند مشتقات مشمول در معادله از نوع معمولي بوده و معادله به نام معادله ديفرانسيل معمولي خوانده مي شود.
اگر همچون معادلات 6 و 7 دو متغير نابسته و يا بيشتر در معادله شركت داشته باشد مشتقات موجود در معادله از نوع مشتقات جزئي بوده و معادله به نام معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خوانده مي شود.

تعريف:مرتبه معادلات ديفرانسيل عبارت است از بالا ترين مرتبه مشتقات موجود در معادله . معادله 2, 5, 7 از مرتبه دوم معادلات1, 3 و6 از مرتبه اول ومعادله 4 از مرتبه سوم است.

درجه معادله ديفرانسيل كه مي تواند به صورت يك چند جمله اي بر حسب مشتقات بيان شود عبارت است از بزرگترين توان بالاترين مرتبه مشتق موجود در معادله همه مثالهاي فوق به جز 5 از درجه اول مي باشند .

[shirin71]

مثال 1- منحني با اين شرط تعريف شده است كه در هر نقطه (x,y) از آن شيب منحني با دو برابر حاصل جمع مختصات آن نقطه برابر است. اين شرط را با معادله ديفرانسيل نشان دهيد.

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image003.png


حل:معادله اي كه شرط مسئله را بيان مي كند عبارت است از :

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image008.gif

[shirin71]

مثال 2-نرخ تبديل يكصد گرم نيشكر محلول در اب به گلوكز با مقدار تبديل نشده آن متناسب است معادله ديفرانسيلي را پيدا كنيد كه نرخ تبديل را بعد از 4 دقيقه بيان كند.

حل: اگر q را تعداد گرم هايي از نيشكر در نظر بگيريد كه در t دقيقه تبديل شده اند آنگاه

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image010.gif

تعداد گرم هاي تبديل نشده خواهد بود در اين صورت نرخ تبديل به صورت

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image012.gif
در مي ايد كه در آن k مقدار ثابت تناسب مي باشد.

[shirin71]

مثال3- معادله ديفرانسيلي را بيابيد كه با معادله زیر همراه باشد.

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image014.gif


حل از آنجائيكه در اين معادله اوليه سه ثابت اختياري وجود دارد بنابر اين چهار معادله زير را مورد ملاحظه قرار مي دهيم:



http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image016.gif

__________________

[shirin71]

مثال 5-معادله ديفرانسيل خانواده دايره هايي راپيدا كنيد كه r شعاع ثابت آنها بوده و مركزشان روي محو رx ها باشد.

حل: معادله خانواده چنين دايره هايي به صورت

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image026.gif

است كه در آن c ثابت دلخواه مي باشد .از اينرو

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image028.gif

بوده و معادله ديفرانسيل مطلوب به صورت زیر است.

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image030.gif

http://www.ircrypt.com/jsp/document/DifferentialEqu_01/image023.png