انتگرال

[shirin71]

بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .

ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.

فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .

گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .

ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .

در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .

در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .

از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .

[shirin71]

در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید.و خم x=10 , x=0 در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط (a,b) انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد F بین a و b است . پس انتگرال Fمنفی رابه صورت a و b بین f ستانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال نقاط را نشان می دهند ،f http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c053036f54379b8376f9a6c39dd6a2bf.png نشان می دهند علامت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/58743ac638e7851444a5e34303bfd6e5.png ،انتگرال گیری از تابع نمادی برای متغیر انتگرال گیری است. dx تابعی انتگرال پذیر است و f ابتدا و انتهای بازه هستند و یک کمیت بی نهایت کوچک dx از لحاظ تاریخی را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی را بین f پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع در نظر بگیرید ،مساحت زیر x=0 تا x=10 نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین محصور شده است یعنی x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود . انتگرال یک تابع

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/9/96/graph_integral1-1.jpg
مساحت زیر نمودار آن تابع است.

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند

[shirin71]

محاسبه انتگرال



اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

در نظر می گیریم .(a,b) تابعی در بازه 1.f که و داریم: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fa6d064b1f15fec56efa94ea25ef4550.png را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f 2.پاد مشتق 3 .قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/418568c9ab7f8b84c715d3f226de05b4.png

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/151880598d4e37e691f4f9c33a82f864.pngخواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم .
کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد f معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع

.این تکنیکها عبارتند از :

*
انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر
*
انتگرال گیری جزء به جزء
*
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
*
انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها


روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید .

[shirin71]

تقریب انتگرالهای معین

.
انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است.
از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال رو سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh_up/0/02/integ.gif
محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار.
هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری
از مقدار انتگرال بدست میآید

[shirin71]

تعریف های انتگرال


(lebesgue)از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکیاست.
انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد. پس به riemann-stieltjes از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال اشاره کرد.
طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند:


*
انتگرال ریمان
*
انتگرال لبسکی
*
انتگرال riemann-stieltjes

[shirin71]

آموزش روشهای انتگرال گیری بصورت فلش

به کمک بعضی از روشها که به روشهای انتگرال گیری موسوم هستند میتوانیم بعضی از انتگرال های نامعین را به حالات ساده تری که قبلا مطالعه کرده ایم تبدیل کنیم. نمونه ای از این روشها تغییر متغیر و روش جزء به جژء هستند. در این آموزش که در حد پیش‌دانشگاهی می‌باشد به این مقوله پرداخت می‌شود. این آموزش هم به صورت فلش تهیه شده است...

برای دانلود راست کلیک کرده و save target as را انتخاب نمایید

http://gtm396.googlepages.com/integral2.swf

(اگر لینک بالا به هر دلیلی کار نکرد، از این آدرس دانلود نمایید)

سؤالات خود را در انجمن‌های گفتگو مطرح نمایید.

[shirin71]

انتگرال نامعین

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/26320f9d1a6d732658a647660ce6c64f.png پاد مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.pngباشد ، آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.png به ازای هر مقدار ثابت http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png یک پاد مشتق http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png است.زیرا اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1eb395881a0b6ae5f12f348ee766fe4c.png آنگاه:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/2323d46ac59e9d5048561767d7b41f2f.png

نکته

اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4a58e1a2e7374ded8084db6218116d8b.pngجوابی برای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/bfe445e85f3b398a2d60202c1f8fee58.png باشد ، فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/69b7c77e7665e4dc7c29a3b112042245.png همه جوابها را به دست می‌دهد.
انتگرال نامعین

مجموعه همه پاد مشتق‌های یک تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/48a08c191c24c5ccda00985d90ed1822.png را انتگرال نامعین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.pngمی‌نام� �د و با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a988b1aad09e1b96a9705301e27d67be.png نشان می‌دهند.
هرگاه فرمول http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d64a8e0fb707b72e42a3325ba3cd7e3a.pngهمه پادمشتق‌های http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را به دست دهد، آنرا چنین مشخص می‌کنیم :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d7bb0b86d923a0b55f9e753e096eaeb6.png

تابع (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/8453fb9e807596a4319febe8cac9a8a5.png را انتگرال ده انتگرال وhttp://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را ثابت انتگرال‌گیری می‌نامیم. همچنین http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/79e09efba685c667efccfa7a9bae331c.png نشان می‌دهد که متغیر انتگرال‌گیری http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png است.
__________________

[shirin71]

خواص انتگرال



انتگرال مشتق (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82) یک تابع مشتق‌پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png برابر است با http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png به علاوه یک ثابت دلخواه.
یک ثابت را می‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.(توجه شود که عباراتی را که توابعی از متغیر انتگرال‌گیری اند ، نمی‌توان از زیر نماد انتگرال‌گیری بیرون آورد.)
انتگرال مجموع دو تابع برابر مجموع انتگرال‌های آنهاست.این مطلب را میتوان به مجموع هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد.

فرمول های انتگرال گیری


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/525955f12e5b7a33f57874666ed70469.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e309747d67f1078a5efc1224934abbf7.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/367433b5f726f65f09d43adb5e7d2606.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/d2a1d9caa0152284e95baac9d2806559.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b8628263f2553ce3de4a6821f1df60cc.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/abdcc71c24fbd6ef90d0ff0e4535e6f5.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/7e3ade3aff64d6e4b75cc45bed27dd8d.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9dc2e0b1c8673784114c46a944888b5b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/039138de2ac86fee3459578b54ac7986.png , http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/461d8576b11451dd8b95655402a6d809.png




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/b21298968d31981c412367f23470d904.png




http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ede7d77e9316efc1dc7b8026358a0ecb.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1f672cae9bfefa758e53c34ee417704b.png


http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ac991b22c2d8a19e1defebdeaf39781a.png

در این دستور‌ها http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png یا متغیر مستقل است و یا تابعی مشتق‌پذیر از متغیر مستقل دیگری است.
اگر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e1cf550b859a1de8266066c0bc74f416.png آنگاه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/17ee98ad7ea5bad2177a3ba1abd953ea.png

[shirin71]

انتخاب مقدار ثابت انتگرال‌گیری

در حل یک معادله دیفرانسیل مانند http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/eecdd13ed469625a62c837544d730cb7.png معمولا به دنبال جواب خاصی هستیم که شرایط عددی از پیش تعیین شده را برآورده سازد.بدین منظور نخست جواب عمومی http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png را تعیین می‌کنیم که همه جوابهای ممکن را به دست می‌دهد . سپس مقداری از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png را تعیین می‌کنیم که جواب خاص مطلوب را به دست دهد.
اگر نقطه‌ای چون http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/c5babf68baade29b50e4ded2a8a177d7.png از دامنه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/87a62474033524575fe5fc29dd221a00.png را در نظر بگیریم و مقدار دلخواه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/fa85d9c195a218dce6fc0a5e48d7908e.png را برگزینیم ، می‌توان با قرار دادن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e4d117a14a265dcc491e4d7a70eb3625.png و http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/e94c79ce3d009f8f05076090b4b1402e.png در معادله http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/ad5fca24893edae00282ab1b3b841e1a.png و حل آن نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/f93d46c49dfefd200eeeafb05ab04fa8.png جوابی را یافت که از نقطه http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png بگذرد.به این ترتیب داریم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/79e7b95dcc0212995031702b19424b4d.png یا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/64d3b050d0da2cdbab151ccc9456890b.png.
خم http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/cbfad94e3ef13fb75096addf48934ee0.png خمی است که از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/1fe41a33961896ee5aa532e4aebd4103.png می‌گذرد.
انتگرال‌گیری به کمک تغییر متغیر

در حل انتگرال‌ها با روش تغییر متغیر ، به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png تابع پیوسته و مشتق پذیر http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/32e2edba7789d9917cc8b1aff6784c53.png را قرار می دهیم، یعنی :

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/789bc0525bd335db8f663c8979a55e56.png

بعد از حل ، بر اساس تابع معکوس (http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9+%D9%85%D8% B9%DA%A9%D9%88%D8%B3) ، به جای http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/331004b146a073801166787069f73b5e.png نسبت به http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png قرار می‌دهیم . یعنی: http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4d519d25200e47f93965cfdea25ef643.png
از فرمول فوق به صورت زیر هم می‌توان استفاده کرد:

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/4bc20eaf572296578640fd779604cd34.png

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

دستور http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/51c3f909a5d4e4ab01b6ff2b925bd8ab.png موسوم به انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء است که در آن http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/010faaa935eb5ed85b8fe482e8053241.png توابعی مشتق‌پذیر از http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/9a85ffc96580c42f0a793137626bda12.png هستند. اگر انتگرال به صورت حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع معکوس مثلثاتی ، در یک چند جمله ای باشد، در این صورت معمولا http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png را تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی انتخاب می‌کنند ولی اگر انتگرال حاصلضرب یک تابع لگاریتمی یا یک تابع نمایی در یک تابع جبری باشد ، معمولا تابع جبری را http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/img/daneshnameh/math/a8104b50c7d8f5818d57258263c3d5da.png فرض می‌کنند.

[shirin71]

انتگرال

انتگرالها یک بحث اساسی ریاضیات عالی را تشکیل داده که می‌توان کاربرد آنرا درتمام علوم طبیعی، انسانی وغیره مورد مطالعه قرارداد.
اولین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد. http://upload.wikimedia.org/math/f/a/0/fa0616d6c004ba3f4a8873b1cf6f088b.png aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.

[shirin71]

تابع اولیه

هر گاه معادله مشتق تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را تعیین کنیم این عمل را تابع اولیه می نامیم.
تعریف: تابع اولیه y = f(x)را تابعی مانند Y = F(x) + c می نامیم،هرگاه داشته باشیم:
cعدد ثابت (y = F(x) + c)' = y = f(x)

انتگرال نامعین

تعریف:هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل راانتگرال نا معیین نامیده و آن را با نماد http://upload.wikimedia.org/math/f/e/8/fe8609fc395704f6ba0420eb485cd0f6.png نمایش می‌دهند.
بنا به تعریف نمادhttp://upload.wikimedia.org/math/0/5/c/05c9306c6417449c37baeeb90a8a97a4.png را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانندF(x) + c در نظر میگیریم هر گاه داشته باشیم: http://upload.wikimedia.org/math/7/e/f/7ef91bec38120349271ffbaf951496ba.png با شرط: (F(x) + c)' = f(x)

انتگرال معین

بنا به تعریف نمادhttp://upload.wikimedia.org/math/1/e/f/1ef7bf5d8eefade7553905325ad76e43.png را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم: a<x<b http://upload.wikimedia.org/math/a/4/9/a496f4d22ac72fe3e47d598b6e5c56dc.png
aوb را به ترتیب کرانهای بالا و پایین انتگرال مینامیم.

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی fx است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Integral.svg/350px-Integral.svg.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Integral.svg) http://fa.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Integral.svg)
نمایش گرافیکی انتگرال.


انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B3%D8%A8%D9%87_%D8%A7%D9%86% D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84)) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ (Lebesgue) است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعويض پذيری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان-استیلچس (Riemann-Stieltjes) اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زير از مهم‌ترين تعاريف انتگرال مي باشند:




انتگرال ريمان (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%D8%B1% D9%8A%D9%85%D8%A7%D9%86)
انتگرال لبگ (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8% A7%D9%84_%D9%84%D8%A8%DA%AF&action=edit&redlink=1)
انتگرال ریمان-استیلتیس (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8% A7%D9%84_%D8%B1%DB%8C%D9%85%D8%A7%D9%86-%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%8C%D9%84%D8%AA%DB%8C%D8%B3&action=edit&redlink=1) (تعمیم انتگرال ریمان)




کاربرد

انتگرال ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربرد های زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%B1%D9%85%D9%88%D8%AF%DB%8C%D9%86%D8%A7%D 9%85%DB%8C%DA%A9) از انتگرال رابطه فشار (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B4%D8%A7%D8%B1) و حجم (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%AC%D9%85) به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عممودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلا رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:
http://upload.wikimedia.org/math/8/2/2/822905b570a5c6ea0f79e5f228645e54.png سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:
http://upload.wikimedia.org/math/b/2/6/b2600468c360b80f3b363f56c4ddd214.png پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.


ویکی پدیا

[shirin71]

محاسبه انتگرال

اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%A7%D8%B3%D8%A7%D8%B3% DB%8C_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8_%D8%AF%DB%8C%D9%81% D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%D9%88_%D8%A7% D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84) بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:
1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. 2.پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:


بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.
به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :




انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء : http://upload.wikimedia.org/math/4/c/f/4cff86a7474702a16eb29f9b2bb76292.png
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.


ویکی پدیا

[shirin71]

جدول مختصر انتگرالها





http://upload.wikimedia.org/math/9/9/7/9971c4187cc53c76f6971fd64739b908.png



http://upload.wikimedia.org/math/b/f/7/bf773374f48a78fd30f0602331c16ecd.png



http://upload.wikimedia.org/math/b/e/3/be382431a4e482bd878d2e39fed3b985.png

rst kind)


http://upload.wikimedia.org/math/0/6/d/06d3e2c8cebc3924ed9abd1fc7790c67.png



http://upload.wikimedia.org/math/6/5/8/6584ff9f3e4c0413e78704e6e01008de.png, http://upload.wikimedia.org/math/8/7/e/87ecc6d98450874d2b57cbc8e56ffdd1.png, this is related to the probability density function (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_density_function&action=edit&redlink=1) of the Student's t-distribution (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Student%27s_t-distribution&action=edit&redlink=1))



http://upload.wikimedia.org/math/9/f/1/9f1e49dc88228fe0d44a8b60565c0847.png



http://upload.wikimedia.org/math/f/9/b/f9b1d9c251222ac42fdde915ef3d5b05.png



http://upload.wikimedia.org/math/1/1/4/1140f6b49241a966b4a98b0bf2f8b25e.png





http://upload.wikimedia.org/math/8/2/4/824176dedbb765ed3fa021ce6e77271b.png



http://upload.wikimedia.org/math/e/e/e/eee0fc32aa1b9eca09f0ded2bceb8580.png



http://upload.wikimedia.org/math/7/6/6/7665537969dafd9ec42924d7504a18be.png



http://upload.wikimedia.org/math/7/7/8/77845b4ea961f20cf7af228c4f947d74.png

[shirin71]

جدول کامل انتگرال‌ها (http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_integrals)

عمومی



http://upload.wikimedia.org/math/f/0/9/f0938956d1a3ff215325d5a3222544f0.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/c/9/5c9a30985da54057ca79f45161792145.png
http://upload.wikimedia.org/math/f/c/c/fcc0812b4e4303783992e18cdf2fc74d.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/0/8/9087e254c5446254895369dd05fae709.png
http://upload.wikimedia.org/math/0/c/6/0c64f04cc80db157abf9bbb321648b42.png


http://upload.wikimedia.org/math/4/1/9/41997011abd325d2fc677a15e97d48ad.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/e/a/9ea57895ce3506c7599e25616364202a.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/0/3/3036569987b50701d4287a598fd11385.png


http://upload.wikimedia.org/math/3/1/4/314d1c2939bbc0f91bd73bca50e3cf80.png


توابع گویا (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%DA%AF%D9 %88%DB%8C%D8%A7&action=edit&redlink=1)



http://upload.wikimedia.org/math/f/4/d/f4d8c7dc53d5d864eee5d7e9ddf318da.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/9923431bc68848085b06ad1111e0ac43.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/9/9/199b6a7042338024c2ed68077a60e06c.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/2/9/9298c60186ce1afaab3fe15b1c162025.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/1/8/918223412bb2f97f41600a9e8cee794a.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/8/6/286f9780025f9a709b6b19211a5e76e0.png
<\int> {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C</math>
http://upload.wikimedia.org/math/f/3/3/f332872591e459ca2193f5b9e6929b8c.png

[shirin71]

توابع لگاریتمی (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%84%DA %AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85%DB%8C&action=edit&redlink=1)



http://upload.wikimedia.org/math/0/4/6/0463293fd4b885e727d00e950164084c.png
http://upload.wikimedia.org/math/c/7/f/c7ff2f08fe3e8d2aa7319d978f4c1d7a.png


توابع نمایی (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%86%D9%85%D8%A7%DB%8C% DB%8C)



http://upload.wikimedia.org/math/a/7/1/a71b1731d2874fe2ae767e735afdb5fe.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/3/8/238ec212d85cd46984d6298dbd9c271b.png


توابع مثلثاتی (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%85%D8 %AB%D9%84%D8%AB%D8%A7%D8%AA%DB%8C&action=edit&redlink=1)



http://upload.wikimedia.org/math/2/a/4/2a45501179a7e0920775a8090134a941.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/4/e/94e779e1a98bab8c6307c101c60a1127.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/e/6/ae64b075a5b6af265321a4d006400cf3.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/a/b/1abda5887cef00ac0f651ae8287b4bd7.png
http://upload.wikimedia.org/math/c/7/6/c76d6ef06bbafced4fadf56a8b4dc74d.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/d/9/5d99653eecb81cbf32c39a23f87bb6a1.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/b/0/8b09ff7056eabcc271efa13119e1bf3d.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/f/6ef97502bc2c1fbff4e48787cfc821a8.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/a/2/7a22059521b34a4f59ce5d46a97e80ac.png
http://upload.wikimedia.org/math/f/5/6/f569d773da403cc5382844a53844f3ff.png
http://upload.wikimedia.org/math/8/6/9/869d20b2a86eac1aa9aaabcdad06f19e.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/4/4/3445009f8447354ffa69fdd18f0584b8.png


http://upload.wikimedia.org/math/c/9/b/c9b5fd994056b6a40090d9d6d614eb92.png


http://upload.wikimedia.org/math/4/8/0/4805f6229810b464973a52e89f20bd3a.png


http://upload.wikimedia.org/math/6/c/c/6ccc9782d57f50a93575a81aba47acda.png
http://upload.wikimedia.org/math/1/9/b/19b0b5e632770e51cbd277e386874cd9.png

[shirin71]

توابع هایپربولیک (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%87%D8%A7%DB%8C%D9%BE% D8%B1%D8%A8%D9%88%D9%84%DB%8C%DA%A9)



http://upload.wikimedia.org/math/4/0/7/407f8056d00458f1ce64ee67a1075bdb.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/5/0/750a4d51e5c1e755ebe0f8a716b8e7d3.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/3/c/33c4894f9f9d91113a2127dd11831f21.png
http://upload.wikimedia.org/math/3/b/8/3b8f5936ac7a21935f261ca9bd775a87.png
http://upload.wikimedia.org/math/b/4/4/b4438bde82061ff752ae159300d5d10e.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/6/7/667a610f7c8393a69517875e3903a333.png
http://upload.wikimedia.org/math/4/3/f/43fd1b3ca96c964f1bc217362890d76f.png



http://upload.wikimedia.org/math/c/7/0/c700c721b6a835c2b80bc94c937e8fc2.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/6/ad60edc5a4c8a741db757afc051b6d76.png


http://upload.wikimedia.org/math/3/1/d/31d086256d02cddf7d367275973a175c.png


http://upload.wikimedia.org/math/a/0/4/a040583d58f029db86f31fedb6f97fd3.png


http://upload.wikimedia.org/math/f/9/d/f9d86bbc308a1104e043f67e83d4c932.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/5/a/d5a909c569f366aa8634d5b660ac4af3.png



http://upload.wikimedia.org/math/a/d/c/adc9afc6ade5afadf05f91b15f7db800.png (see also Gamma function (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Gamma_function&action=edit&redlink=1))



http://upload.wikimedia.org/math/f/5/c/f5cdbb9d585612a4401ee3e2356fae39.png (the Gaussian integral (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Gaussian_integral&action=edit&redlink=1))



http://upload.wikimedia.org/math/e/5/b/e5b2ea4ea6f2785d34207d291d1ffa79.png (see also Bernoulli number (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernoulli_number&action=edit&redlink=1))



http://upload.wikimedia.org/math/f/f/4/ff435cf78595f3878cef7e017118ad55.png



http://upload.wikimedia.org/math/1/e/e/1ee2e7527bbe644ba3e501455ec6fd2c.png





http://upload.wikimedia.org/math/7/f/d/7fd6c9a0f80b4d24a377c266f4da8873.png (if n is an even integer and http://upload.wikimedia.org/math/b/0/d/b0d7c72eaa2163c218709a3c004ee428.png)





http://upload.wikimedia.org/math/3/0/b/30ba6d49fc84fe4d5c51707ddcff1c5f.png (if http://upload.wikimedia.org/math/b/1/3/b1393f028b62ceab74b3945fee639acc.png is an odd integer and http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5a8f92d1f8120977de359a63cc8e274.png)



http://upload.wikimedia.org/math/d/8/0/d800fa3213091868bdf99e3884614061.png



http://upload.wikimedia.org/math/4/e/c/4ec07cbf362074bcad28fb87437d6623.png (where Γ(z) is the Gamma function (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=Gamma_function&action=edit&redlink=1))

[shirin71]

انتگرال چندگانه

پرش به: ناوبری (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%DA%86% D9%86%D8%AF%DA%AF%D8%A7%D9%86%D9%87#column-one), جستجو (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84_%DA%86% D9%86%D8%AF%DA%AF%D8%A7%D9%86%D9%87#searchInput)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Volume_under_surface.png/180px-Volume_under_surface.png (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Volume_under_ surface.png)
(http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Volume_under_ surface.png)
انتگرال دوگانه برای بدست آوردن حجم محصور در زیر توابعی به کار می‌رود که دو متغییر دارند.


انتگرال (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AA%DA%AF%D8%B1%D8%A7%D9%84) چندگانه نوعی از انتگرال است که برای بدست آوردن حجم یا پارالل زیر تابع‌های بیش از یک متغییر استفاده می‌شود.


روش نمایش

توابع با بیش از یک متغییر را با http://upload.wikimedia.org/math/6/e/c/6ece7c3ff3ae47f695a30da7b899025b.png یا http://upload.wikimedia.org/math/4/8/f/48fbad7ea63431f1b3851b55d230dc8b.png نمایش می‌دهند.
و روش نمایش انتگرال چندگانه به صورت زیر است:
http://upload.wikimedia.org/math/1/7/c/17c703da09a3ac43d38beb779deacc1d.png
انتگرال‌های چندگانه

انتگرال دوگانه:معرف حجم زیر تابع (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9) است که دو متغییر دارد. مثلا:
http://upload.wikimedia.org/math/a/5/2/a5277ef940cab9524d562a3bb1ca103f.png انتگرال سه گانه:معرف پارالل زیر نمودار(می توان آن را نوعی حجم ضربدر زمان گرفت) است مثلا
http://upload.wikimedia.org/math/d/7/8/d786f703d650660c5f8fe9e11728315b.png
تبدیل انتگرال چندگانه به انتگرال خطی

برای انواع مختلف تابع این روش متفاوت می‌باشد ولی راحترینش برای توابع مستطیلی (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9 %85%D8%B3%D8%AA%D8%B7%DB%8C%D9%84%DB%8C&action=edit&redlink=1)(توابعی سه بعدی که x و y آنها به هم ارتباط نداشته باشد)است که به راحتی اول از این تابع یک انتگرال خطی برحسب یکی از متغییرها گرفته می‌شود و سپس از تابع دوم(که دارای یکی دیگر از متغییرهاست)برحسب متغییر دوم انتگرال خطی گرفته می‌شود.
اما برای توابعی که مستطیلی نیستند از نظریه‌های متفاوتی استفاده می‌شود منجمله :نظریه دیورژانس (http://fa.wikipedia.org/w/index.php?title=%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D8 %AF%DB%8C%D9%88%D8%B1%DA%98%D8%A7%D9%86%D8%B3&action=edit&redlink=1)٬نظریه سبز (http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D8%B3%D8%A8%D8%B2% 28%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%29) و ...

[shirin71]

میتونید از این لینک مقاله ای از انتگرال را به صورت pdf مشاهده کنید


http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0038.pdf

روش های انتگرال گیری :

http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0039.pdf

كاربردهاي انتگرال:

http://olympiad.roshd.ir/physics/content/pdf/0040.pdf

سایت المپیاد فیزیک رشد

[shirin71]

انتگرال خطی

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.
تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f68437982660ef2aed2164f00741dbf.png) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالhttp://upload.wikimedia.org/math/b/6/e/b6e576b6d0c5450420d07f3fe297d324.png) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.

در ریاضیات انتگرال خطی (چیزی که انتگرال مسیر نیز نامیده می‌شود) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.
تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f68437982660ef2aed2164f00741dbf.png) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثالhttp://upload.wikimedia.org/math/b/6/e/b6e576b6d0c5450420d07f3fe297d324.png) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.
تعریف

برای بعضی از میدان‌های اسکالر f : R'n http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png R انتگرال خطی روی منحنی C با پارامتریزه شدن r(t) که:http://upload.wikimedia.org/math/3/6/b/36b2dc0ff136923eb88a33c1f36d7ca8.png
معنی می‌شود که f:میدان اسکالر انتگرال‌پذیر
C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود
r(t): [a, b] http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png C :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی C اند. ds روش راه‌گشای ارائه شده است به طوری که برابر طول کمان مقدماتی است. زیرا آنها تنهاوابسته به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(t اند. برای یک میدان برداری F : Rn http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png Rn، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.
http://upload.wikimedia.org/math/c/f/0/cf0ea5b21fdf24a36e4b98844ccd673b.png انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آنها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.

راه استقلال

اگر یک میدان برداری F باشد که برابر گرادیان میدان اسکالر G باشد.
http://upload.wikimedia.org/math/0/f/7/0f78fc627948ec4d9574082147a4868e.png پس یک مشتق از ترکیب G و (r(t هست که
http://upload.wikimedia.org/math/4/4/0/440c5cb5246528917f479b0c90d9ca0d.png که مقداری برای انتگرال خطی از میدان F روی (r(t است. با دنباله‌روی از این روش، یک مسیر روی C به ما می‌دهد که


http://upload.wikimedia.org/math/7/1/c/71c2291a2054ba1256cf7154d90bd865.png در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است. بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده است، راه استقلال می‌نامند.



کاربردها

انتگرال خطی کاربرد زیادی در فیزیک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به طوری که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.

رابطه ی انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط

چشم‌انداز اعداد مختلط به طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با قسمت حقیقی از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک تابع مختلط با یک متغیر مختلط. بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن تابع هولومورفیک که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.

آنالیز مختلط

انتگرال خطی یک روش بنیادی در آنالیز مختلط است. فرض U یک زیرمجموعه بازی است در C، γ : [a, b] http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png U یک مسیر است و f : U http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png C یک تابع باشد که انتگرال خطی :http://upload.wikimedia.org/math/f/0/9/f09beacefbccc0f4cb5462becb72f822.png. بازه [a,b] را به صورت زیر افراز می‌کنیم.
a = t0 < t1 < ... < tn = b
که با توجه به بالا می‌شود
http://upload.wikimedia.org/math/6/4/f/64f3eb4b8f3ea50889da55ccdadc3717.png انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به طوری که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.
http://upload.wikimedia.org/math/0/8/3/083ee2dde30694b0644f51603987b1a8.png وقتیγ یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آنرا با
http://upload.wikimedia.org/math/d/3/6/d36bf2a48725e2f879bceaec66668bcf.png نشان می‌دهند که معمولاً برای انتگرال خطی f رویγ بسته نمایش داده می‌شود. بهترین حکم در مورد انتگرال خطی (جهتی)، قضیهی انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی است. زیرا با استفاده از قضیه مانده می‌توان روش انتگرال خطی (جهتی) در صفحه مختلط برای پیدا کردن انتگرال و مقدار حقیقی تابع از یک متغیر حقیقی پیدا کرد.



مثال

با توجه به تابع f(z)=1/z و منحنی C حول صفر با شعاع 1 که با eit, پارامتریزه می‌شود که t in [0,2π]. داریم:
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/2/ad2adf41fe38930b8c8a875fc994d916.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/0/8/7/087cedc06bdc2b2d94668e5cd352ae4e.png که می‌توان این مثال را از طریق انتگرال کشی بازبینی نمود.



مکانیک کوانتومی

راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آنها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات مکانیک کوانتومی دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.

مقاله دکتر حسین بیکی ودکتر مرتضی خادمی استاد دانشگاه شریف - ویکی پدیا