تجزیه مقدارهای منفرد

[shirin71]

به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیۀ مقدارهای منفرد یا تجزیۀ مقدارهای تکین (Singular value decomposition) قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید.

فرض کنیم M یک ماتریس m در n روی میدان K است که می تواند یکی از میدان های حقیقی یا مختلط باشد. آنگاه تجزیه ای از M به صورت زیر وجود دار:
http://upload.wikimedia.org/math/0/a/7/0a7829fb0ae71c0c1c8f918568b767f4.png

که U یک ماتریس m در n روی میدان Σ ، K ماتریس قطری m در n با درایه های نا منفی حقیقی بر روی قطر و V* نشاندهنده ترانهاده مزدوج V یک ماتریس یکانی n در n روی K است. این روش فاکتور گیری تجزیه مقدارهای منفرد M نامیده می شود.

قرارداد: ماتریس قطری Σ به طور منحصر بفرد به وسیله M تعیین می شود.(اگرچه ماتریس های U و V اینگونه نیستند) . درایه های ماتریس قطری Σ به عنوان مقدارهای تکین M شناخته می شوند.





ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

http://upload.wikimedia.org/math/7/0/d/70d306e973dba42b8e9a1e4d2d915189.png

یکی از تجزیۀ مقدارهای منفرد این ماتریس به صورت زیر است:



http://upload.wikimedia.org/math/b/0/3/b0389ff8ab4862b21a14e8fb45d6e5df.png

یعنی داریم که



http://upload.wikimedia.org/math/7/0/5/70576c9fec12aa118fcdd8b7c275e087.png