سری فوریه

[shirin71]

سری فوریه، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی، ژوزف فوریه ثبت شده است.

اگر http://upload.wikimedia.org/math/b/d/9/bd91e763bbdaf805f4d4ebcf0d39b855.pngیک تابع متناوب با دوره تناوب T باشد (یا به عبارتی: ‎f(t + T) = f(t)‎) و بطور مطلق انتگرال‌پذیر باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

http://upload.wikimedia.org/math/0/b/8/0b872ac313b09fd2dd9e7491dffdc703.png

که در آن ωn هارمونیک nام سری فوریه به رادیان بوده و ضرایب an، a0 و bn را می‌توان از فرمول‌های اولر بدست آورد.


سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

* http://upload.wikimedia.org/math/d/c/c/dccc351100ed03e0e5017730fd109bf5.png

و در اینجا:

* http://upload.wikimedia.org/math/8/a/a/8aafb7fb7acd48cd88c241eae624d26a.png

محاسبه ضرایب فوریه

در تبدیل فوریه سه ضریب an و bn و ضریب ثابت a0 (یا cn)مطرح است.

اگر طول بازه تابع 2l باشد آنگاه داریم:

http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/4551e010baa679ad3f89cf05ba5719d4.png

http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692dfb166aac547fda813b219bffa2b3.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/0/a/f0a4ebec618a55641a99ff0fcf98eb87.png

بازه [π,π-] یا در کل بازه هایی که طول آنها 2π است از مهمترین بازه هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده میشود. بدین ترتیب p = 2π پس ضرایب عبارتند از:


http://upload.wikimedia.org/math/b/8/9/b895cbcf9ede46ee67c009c233f9802a.png

http://upload.wikimedia.org/math/a/2/0/a200ea831d1411f4569db7e04f337414.png

http://upload.wikimedia.org/math/7/c/6/7c6176e5b11721b69520b3d0aaaa6048.png