توجه ! این یک نسخه آرشیو شده میباشد و در این حالت شما عکسی را مشاهده نمیکنید برای مشاهده کامل متن و عکسها بر روی لینک مقابل کلیک کنید : هندسه نا اقلیدسی ، تلاشهای اولیه
M.A.H.S.A
04-08-2012, 07:28 PM
هندسة نااقليدسي، انقلابي پارادايمي در رياضيات
غلامحسين مقدم حيدري[1]
چكيده
تصوير كوهن از سير تحول يك علم را مي‌توان به وسيلة طرح بي‌پايان زير خلاصه كرد :
پيش علم - علم عادي - بحران - انقلاب - علم عادي جديد - بحران جديد
ويژگي عمدة نظرية وي تأكيدي است كه بر مميزة انقلابي تحولات علمي دارد؛ به طوري كه طبق آن، انقلاب متضمن طرد و رد يك ساختار نظري و جانشيني ساختار ناسازگاري ديگر است. ويژگي مهم ديگر، نقش پراهميتي است كه مميزات جامعه شناختي جوامع علمي در نظرية كوهن ايفا مي‌كند. از زمان انتشار كتاب ساختار انقلابهاي علمي همواره اين پرسش مطرح بوده كه آيا تصوير كوهن از تاريخ علوم طبيعي در مورد رياضيات نيز به كار بردني است. به نظر مي‌رسد پاسخ منفي باشد؛ زيرا واضح است كه طبيعت رياضيات از مهم ترين ويژگي تصوير كوهن از توسعة يك علم, يعني "انقلاب" پيروي نمي‌نمايد. در اين مقاله سعي شده تا نشان داده شود كه گذر از هندسة اقليدسي به هندسة نااقليدسي انقلابي كوهني در رياضيات است. البته اين بدان معنا نيست كه تمامي مقوّمات تصوير كوهن عيناً در حوزة رياضيات صادق است؛ بلكه دو ويژگي مهم آن, يعني مميزة انقلابي تحول علمي و مميزة جامعه‌شناختي علم, درحوزة معرفت رياضي نيز صدق مي‌نمايد. به عبارت ديگر, انقلاب كوهني در رياضيات واقعاً امكان‌پذير است, هرگاه ما با يك پارادايم كوهني در رياضيات سروكار داشته باشيم كه مورد پذيرش جامعة علمي قرار گرفته باشد. تغيير اين پارادايم, انقلاب كوهني را در پي خواهد داشت.
واژگان كليدي : پارادايم, هندسه نااقليدسي, قياس ناپذيري, انقلاب كوهني, كوهن
مقدمه
در تصوير كوهن از شيوة تحول يك علم، پارادايم مشتمل است بر مفروضات كلي تئوريك، قوانين، فنون، كاربردها و ابزارآلات كه اعضاي جامعة علمي خاصي را بر مي‌گيرند. پژوهشگران درون يك پارادايم، خواه مكانيك نيوتني باشد؛ خواه علم الابصار موجي و يا شيمي تحليلي و يا هر چيزي ديگر به امري مشغولاند كه كوهن آن را "علم عادي" مي‌نامد. كوشش دانشمندان عادي جهت تبيين و تطبيق رفتار برخي از چهره‌هاي مربوط به هم عالم طبيعت كه به واسطة نتايج آزمايش آشكار گرديده، پارادايم را تفصيل و توسعه مي‌بخشد. ضمن اين كار، آنها لاجرم مشكلاتي را تجربه خواهند كرد و با مشاهدات خلاف انتظار يا اعوجاجهاي آشكاري مواجه خواهند شد. اگر مشكلاتي از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعيتي "بحراني" به وجود خواهد آمد. بحران هنگامي مرتفع خواهد شد كه پارادايم كاملاً جديدي ظهور نمايد و مورد حمايت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جايي كه پارادايم مسأله‌انگيز اوليه در نهايت مطرود شود. پارادايم جديد، حاوي نويدهايي است و مشكلات ظاهراً فايق نيامدني ندارد و از اين پس, فعاليت علمي عادي جديد را هدايت مي‌كند تا اينكه آن نيز با مشكلاتي جدي رو به رو شود و بحران جديدي بزايد كه به دنبال آن, انقلاب جديدي ظاهر شود. به نظر "چالمرز" ويژگي عمدة چنين طرح بي‌پاياني دربارة تحول يك علم،"تأكيدي است كه بر مميزة انقلابي پيشرفتهاي علمي دارد؛ به طوري كه طبق آن, انقلاب متضمن طرد و رفض يك ساختار نظري و جانشيني ساختار ناسازگار ديگري باشد". (چالمرز، 1374، ص 13).
به طوري كه كوهن پارادايم‌هاي پيش و پس از انقلاب را "قياس ناپذير" مي‌داند. معمولاً گمان ميشود در زمان يك انقلاب علمي، معيارهايي كه دانشمندان در ارزيابي رجحان يك نظريه بر نظرية رقيب استفاده مي‌نمايند، عبارتاند از: "دقت پيش‌بيني به ويژه پيش بيني كمّي، توازن بين موضوعات روزمره و غامض، و تعداد مسائل مختلف حل شده " (kuhn;1970,p.206), اما كوهن معتقد است معيارهايي از اين قبيل ارزشهاي جامعة علمي را تشكيل مي‌دهند و شيوه‌هايي كه اين ارزشها به مدد آن تعيين ميشود "بايد در تحليل نهايي، روانشناختي يا جامعه‌شناختي باشد؛ به عبارت ديگر، بايد توصيف يك نظام ارزشي يا يك ايدئولوژي باشد, همراه با تحليلي از نهادهايي كه به واسطة آنها آن نظام انتقال و استحكام مي‌يابد" (lakatos and musgrave; 1970, p.21) "هيچ معياري بالاتر از موافقت جامعة مربوطه نيست" (kohn; 1970, p.94) كوهن اين ادعا را با مثالهايي از تاريخ علم در حوزه‌هايي همچون فيزيك، نجوم و شيمي دركتاب ساختار انقلابهاي علمي بيان مي‌كند. پرسشي كه مطرح ميگردد اين است كه آيا اين گونه تحول را درحوزه‌هاي ديگر علوم نيز مي‌توان ديد؟ در اين ميان, رياضيات از اهميت بسزايي برخوردار است؛ زيرا معمولاً تصور ميشود كه رياضيات صرفاً يك سري مدلهاي مجرد منطقي به همراه علايم صوري است كه به دور از ويژگيهاي رواني و شخصيتي رياضيدانان و خصوصيات و تعلقات جامعه‌اي كه در آن زندگي مي‌كنند، در ذهن رياضيدان شكل مي‌گيرد و هنگامي كه در جامعة رياضي مطرح ميشود، رياضيدانان به دور از تعلقات گروهي، اجتماعي و تعهدات متافيزيكي كه متأثر از نوع نگرش جامعه‌اي است كه در آن زندگي مي‌كنند، به ارزيابي آن ميپردازند و باتوجه به معيارهايي چون پيروي از اصول منطق و سازگاري ميان اصول موضوعه و قضايا، دربارة صحت و سقم آن تصميم مي‌گيرند. همچنين رياضيدانان انسانهايي معقول‌اند كه تنها به صحت و درستي منطقي يك ساختار رياضي مي‌انديشند و اگر نظريه‌اي رياضي اين شرط را برآورده نمايد, مورد پذيرش جامعة رياضي قرار خواهد گرفت. در اين مقاله سعي شده با ارائة نمونه‌اي از تاريخ هندسه, يعني انقلاب نااقليدسي، اولاً پارادايمي بودن هندسة اقليدسي در مدت بيش از دو هزار سال _ از يونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانياً اعوجاج بودن اصل توازي براي پارادايم هندسه اقليدسي در اين دوران بررسي گردد و نشان داده شود كه چگونه اين اعوجاج سرانجام به بحراني در اين حوزه در اوايل قرن نوزدهم مي‌انجامد و نهايتاً انقلاب نااقليدسي را در پي مي‌آورد. ثالثاً نشان داده ميشود كه چگونه جامعة رياضي‌دانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافيزيكي خود, در رويارويي با هندسة جديد, واكنشي خصمانه بروز مي‌دهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار رياضي‌داني كه از هندسه نااقليدسي حمايت مي‌كند - ونه صرفاً سازگاري منطقي هندسه نااقليدسي - سبب پذيرش هندسة جديد ميگردد.
1ـ اصول (Elements)
سدة چهارم پيش از ميلاد, مسيح ناظر شكوفايي آكادمي علوم و فلسفة افلاطون بود. تقريباً تمامي كارهاي مهم رياضي اين دوره به وسيلة دوستان يا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثير افلاطون بر رياضيات، معلول هيچ يك از كشفيّات رياضي وي نبوده است؛ بلكه به سبب اين اعتقاد شورآميز وي بود كه مطالعة رياضيات عاليترين زمينه را براي تعليم ذهن فراهم مي‌آورد و از اين رو, در پرورش فيلسوفان و كساني كه بايد دولت آرماني وي را اداره مي‌كردند، نقش اساسي داشت. از نظر وي "رياضيات وضع واسطه‌اي بين صور و اشيا دارند "و " صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسي ذرات آنها بستگي دارد. اين ساختمان هندسي به وسيلة ساختمان سطوح آنها متعين ميشود و ساختمان سطوح آنها بوسيلة ساختمان دو نوع مثلث متساوي الساقين قائم الزاويه و قائم الزاويه مختلف الاضلاع، كه از آنها ساخته شده‌اند."(كاپلستون، 1368, ص 225). از اين رو هندسه براي او اهميت بسيار داشت. اين اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آكادمي‌اش توجيه مي‌كند: «كسي كه هندسه نمي‌داند داخل نشود».
اقليدس يكي از شاگردان مكتب افلاطون بود. وي سعي كرد رياضياتي را كه توسط فيثاغورسيان شروع شده بود و بعداً بقراط، ائودوكسوس، تئاتيتوس و ديگران مطالبي به آن افزوده بودند، در كتابي به نام اصول گردآوري نمايد. ارزش عمدة اين اثر در گزينش ماهرانة قضايا و دادن ترتيب منطقي به آنهاست. اقليدس در اصول سعي كرد تا نمونه‌اي از تفكر اصل موضوعي را ارائه نمايد. براي اينكه گزاره‌اي در يك دستگاه قياسي اثبات شود، بايد نشان داد كه اين گزاره پيامد منطقي لازم چند گزاره است كه قبلاً به اثبات رسيده‌اند. گزاره‌هاي اخير نيز خود بايد به كمك گزاره‌هايي كه قبلاً اثبات شده‌اند ثابت شوند و به همين ترتيب تا آخر. چون اين تسلسل را نمي‌توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتداي امر، بايد مجموعة محدودي از گزاره‌ها پذيرفته شوند. اين گزاره‌هاي بدواً پذيرفته شده, "پوستولاها" يا "اصول موضوعه" مبحث ناميده ميشوند و تمام گزاره‌هاي ديگر مبحث بايد به طور منطقي به وسيلة آنها ايجاب شوند. وقتي كه گزاره‌هاي يك مبحث بدين صورت منظم شوند، گفته ميشود كه مبحث در شكل اصل موضوعي عرضه شده است. يكي از مهم ترين كارهاي اقليدس در كتاب اصول, بيان هندسه در قالب يك سيستم اصل موضوعي بود. در ساختن چنين سيستمي يك سري اصطلاحات هندسي همچون "نقطه" و "خط" به كار مي‌رفتند كه وي نهايت سعي خود را به كار گرفت تا همة اين اصطلاحات را تعريف نمايد. مثلاً او نقطه را "چيزي كه هيچ جزء ندارد" و "خط" را "طولي بدون پهنا" تعريف نمود. همچنين او "خط مستقيم" را چنين تعريف مي‌نمايد: "خطي كه به نحوي هموار بر نقاطي كه برخود آن هستند قرار داشته باشد".
پنج اصل معروف وي در باب هندسه عبارتاند از:
اصل اول: از هر نقطه مي‌توان خط مستقيمي به هر نقطة ديگر كشيد.
اصل دوم: هر پارهخط مستقيم را مي‌توان روي همانخط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم: مي‌توان دايره‌اي با هر نقطة دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پارهخط رسم شده از مركز آن ترسيم كرد.
اصل چهارم: همة زواياي قائمه با هم مساوياند.
اصل پنجم: اگر خط مستقيمي دو خط مستقيم را قطع كند, بهطوري كه مجموع زواياي داخلي يك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد، اين دو خط مستقيم، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفي كه دو زاويه مجموعاً از دو قائمه كمترند، همديگر را قطع خواهند كرد.
اقليدس با استفاده از اين تعاريف و اصول, كليه قضاياي هندسي را ثابت كرد. ج. جيكسترويز (E.J.Dijksterhuis) در كتاب ارزشمند مكانيكي كردن تصوير جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات 50 تا 52 سه عامل مهم را بيان مي‌كند كه سبب پذيرش و اقبال شگفت‌آور به كتاب اصول شد. وي معتقد است اولاً, اقليدس در مقالة چهارم كتاب اصول, بيان استادانه‌اي از نظرية ائودوكسوس در مورد تناسب ارائه مي‌نمايد. اين نظريه قابل استفاده در كميتهاي نامتوافق و متوافق, "رسوايي منطقي" ناشي از كشف اعداد ناگويا به وسيلة فيثاغورس را حل كرد كه يكي از دستاوردهاي مهم رياضيات يوناني بود و الگويي براي ارائة راهحلهاي مسائل ديگر قرار گرفت. ثانياً, رياضيات يوناني فاقد نمادهاي مناسب رياضي بود. آنها از حروف براي نمايش اعداد استفاده مي‌كردند و معادلات جبري را با پرگويي بسيار بيان مي‌كردند. اقليدس در مقالة پنجم اصول كه نظرية ائودوكسوس دربارة تناسب را در هندسه مسطحه به كار مي‌برد، راه حل هندسي براي معادلات درجة دوم ارائه مي‌كند. اين روش هندسي بسيار مختصر و موجزتر از روشهاي جبري بود كه با پرگويي‌هاي بسيار همراه بود. ثالثاً, از همة مهمتر نوع نگرش حاكم بر حوزة رياضيات و فلسفه بود. اين حوزه‌ها به شدت تحت تأثير فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وي, هندسه دربارة "مثل" عالم بالا صحبت مي‌كند. اگر ما در مواردي در زندگي روزمره, ناگزير به استفاده از نمايش اشكال هندسي هستيم, تنها براي تذكر به آن مثل مي‌باشد. افلاطون چنان مقامي براي هندسه قائل بود كه وقتي در رسالة منون براي وضوح بخشيدن به يكي از آراي خويش, يعني نظرية تذكر، به رياضيات توسل مي‌جويد، از قضيه‌اي استفاده مي‌نمايد كه قابل نمايش هندسي است. اين عوامل سبب شد به محض اينكه اصول پديد آمد, نهايت توجه را به خود جلب كرد؛ بهطوري كه هاورد. و. ايوز (Howard W.Eves) مورخ رياضي امريكايي، اصول را يكي از خط سيرهاي مهم تكامل رياضيات در يونان مي‌داند. وي مي‌گويد: "در تكامل رياضيات طي 300 سال اول رياضيات يوناني, سه خط سير مهم و متمايز را مي‌توان تشخيص داد؛ ابتدا، بسط مطالبي است كه مآلاً در اصول مدون شد... خط سير دوم, شامل بسط مفاهيمي است در رابطه با بينهايت كوچكها... و سومين مسير تكامل, مربوط به هندسه عالي يا هندسة منحنيهايي به جز دايره و خط مستقيم و سطوحي غير از كره و صفحه است» (ايوز، 1368، ص 101).
مقام رفيعي كه هندسه بهواسطة اصول و نگرش افلاطوني به رياضيات يافت, چنان بود كه تفكر علمي دانشمندان حوزه‌هاي علم الابصار و علم مكانيكي نيز عادتاً به كمك اشكال فضايي صورت مي‌گرفت.
2ـ عصر هندسة اقليدسي
در قرون وسطا, رياضيات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعه‌اي نيافت. بلكه صرفاً به جنبه‌هاي علمي اين موضوع كه با تجارت و شهرسازي مربوط ميشد اكتفا مي‌گشت. اما در اواخر قرون وسطا كاوشهاي رياضي جان تازه‌اي گرفت. لئوناردو داوينچي در مكانيك و هيدروليك و اپتيك، آزمونهاي وسيعي به عمل آورد، همة مسبوق بدين فرض كه نتايج متقن را بايد به زبان رياضي بيان كرد و به نمايش هندسي باز نمود. در قرن بعد، يعني قرن ظهور كتاب دوران ساز كپرنيك، ديگر همة متفكران بزرگ در مكانيك و ساير علوم فيزيكي _ رياضي به روش هندسي گردن نهاده بودند. تارتاگليا در كتاب علم جديد (Tartaglia: Nova Scienza) خود، كه به سال 1537 انتشار يافت، همين روش را در حل مسألة سقوط اجسام و برد نهايي پرتابه‌ها به كار برد و ستي ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصي را به كار گرفت تا به كمك خطوط هندسي، نيرو و حركت و زمان را مصور سازد.
در سده‌هاي پانزدهم و شانزدهم، نمادهاي جبري رواج يافتند؛ اما اين سبب كاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. براي نمونه, بايد به كاوشهاي رياضي در اين دو قرن كه دربارة تئوري معادلات بود، اشاره نمود. اين كاوشها دربارة يافتن روشهايي براي تبديل و ساده كردن (Reduction) و حل معادلات درجة دوم و سوم بود. مثلاً پاچيولي (Pacioli) (متوفي به حدود سال 1510) بيشتر به دنبال آن بود كه علم بالندة جبر را در تحقيق خواص اشكال هندسي به كار گيرد. مسائلي كه با آنها سروكار داشت از اين قبيل بود؛ شعاع دايره‌اي كه در مثلثي محاط شده, چهار اينچ است؛ قطعاتي از يك ضلع كه در دو طرف نقطة تماس (دايره و مثلث) قرار دارند, شش اينچ و هشت اينچ است؛ طول دو ضلع ديگر را تعيين كنيد. دانشجويان اين روزگار، با يك معادلة سادة جبري مسأله را حل مي‌كنند, ولي پاچيولي جز از طريق يك ترسيم پيچيدة هندسي, بدين منظور نائل نمي‌آمد و از جبر فقط براي محاسبة طول پاره خطهاي منظور بهره مي‌جست. به همين نحوه, براي حل معادلات درجة دوم و سوم نيز در قرن شانزدهم همواره از روشهاي هندسي بهره مي‌جستند. بال (Ball) نمونة دلپذيري را ذكر مي‌كند كه في المثل كاردانوس (Cardanus) براي حل معادلة درجة سوم r =qx+ 3 x از چه راه پر مشقتي عبور مي‌كرد (برت, صص35و 34).
رفته رفته امكانات وسيعي كه در نمادهاي جبري نهفته بود از قوه به فعل رسيد و رياضيدانان با روشهاي پيچيده‌تر آشنايي يافتند، در عين اينكه هنوز هم به نمايش هندسي تحقيقات خويش متكي بودند. به زمان كاردانوس كه مي‌رسيم، مسائل مبتلا به متفكران به درجه‌اي از غموض و تركب مي‌رسد كه معادلات مربوط, محتاج تبديلات و به خصوص ساده كردنهاي مكرر، با حفظ مقدار اصلي ميشوند و به زبان هندسي، لازم مي‌آيد كه اشكال مركب را به اشكال ساده‌تر برگردانند، به طوري كه يك دايره يا مثلث ساده, جانشين اشكال مركب و متعدد گردد. اين كار، غالباً كار پيچيده‌اي هم بود و از اينرو طرحهاي مكانيكي مختلفي تدبير كرده بودند تا به كمك رياضيدانان آيد. گاليله در سال 1597 يك راهنماي هندسي منتشر كرد, متشكل از يك رشته قواعد مشروح براي تبديل اشكال بي‌قاعده و يا تركيب چند شكل باقاعده و تبديل آنها به يك شكل با قاعده و اعمال اين قواعد در حل مسائل خاصي چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطة هندسي و امثال آنها. به كارگيري روشهاي ساده كردن و تبديل اشكال هندسي از مشخصات رياضيات قرن شانزدهم است.
افلاطوني‌گري شايع و نيمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسي مي‌ديد و مقدمات بسيط و واپسين آن را ابعاض محدود فضا ميدانست و كلاً آن را مجسم يك نظم هندسي ساده و زيبا ميدانست. تمام متفكران عهد كهن و قرون وسطا, فضاي هندسي و فضاي واقعي عالم را يكي مي‌دانستند. براي فيثاغوريان و افلاطونيان، وحدت اين دو فضا, خود نظرية ما بعد الطبيعي مهمي بود. ديگر مكتبها هم بر همين باور بودند، ليكن مدلولات كيهان‌شناختي آن را بهطور شايسته مورد توجه قرار نمي‌دادند. نزد اقليدس، وحدت فضاي فيزيكي و فضاي هندسي جزو مسلمات بود. كتاب اول اصول، اصلهاي هشتم و دهم و نيز قضية چهارم و كتاب يازدهم, قضاياي سوم و هفتم و به خصوص كتاب دوازدهم، قضيه دوم شاهدي بر اين ادعا هستند. از اين رو نجوم, شاخه‌اي از هندسه شمرده ميشد و در واقع, آن را هندسة افلاك مي‌دانستند. ادوين آرتور برت در كتاب ارزشمند مباني مابعدالطبيعي علوم نوين معتقد است كه همين تصور از نجوم, يكي از عوامل بسيار مهمي بود كه كپرنيك را واداشت تا نظرية خورشيد مركزي را ارائه دهد: "حال كه علم نجوم در اصل همان علم به هندسة افلاك دانسته ميشد و حال كه به روشهاي هندسي، معادلات جبري را ساده‌تر مي‌كنند و يا به اشكال ديگري بر مي‌گردانند، چه اشكالي دارد همين روشهاي ساده كردن و تبديل كردن را در علم نجوم هم به كار گيريم. اگر علم نجوم پاره‌اي از رياضيات است, بايد نسبت مقادير رياضي در آن هم جاري باشد؛ يعني حركاتي كه بر روي نقشة سماوي به اجرام نسبت مي‌دهيم, بايد يكسره نسبي باشد و از لحاظ انطباق با واقع، هر نقطه‌اي را بتوانيم به منزلة مرجع نظام فضايي خود برگزينيم. كپرنيك درست به همين شيوه، هيأت جديد را برانديشيد و نظام خورشيد مركزي را از آن جهت كه ساده‌تر و موزون‌تر از نظام زمين مركزي است برگزيد (برت، 1369، ص 38 و 40). اين نگرش هندسي به هستي و تعهدات متافيزيكي متعاقب آن, هندسه را همچون پارادايمي حاكم بر پژوهشهاي علمي و تحولات فكري فلسفي اين عصر درآورده بود. اين پارادايم به دانشمند مي‌گفت كه در مواجهه با مسائلي كه در پژوهشهاي خود با آن روبه رو ميشوند، بايد به جستجوي يافتن كدامين پاسخها باشند. پاسخهايي كه بتوان آنها را در قالب مفاهيم و اصطلاحات هندسي صورتبندي نمود و با نظرية هندسة اقليدسي متلائم كرد. گاليله مي‌گفت: "در اين كتاب بزرگ كه همواره پيش چشم ماست، يعني كتاب طبيعت، حكمت را نگاشته‌اند؛ لكن ما به درك آن نايل نمي‌شويم, مگر اينكه بدانيم به چه زبان و علايمي آن را نوشته‌اند. اين كتاب را به زبان رياضي نوشته‌اند و علايم آن هم عبارت است از مثلث، دايره و ساير اشكال هندسي. بدون كمك اين زبان و اين علايم، محال است كه يك كلمه از اين كتاب را دريابيم؛ و بدون درك اين كتاب، آدمي در هزار تويي تاريك، سرگردان و ياوه‌گرد خواهد شد» (برت، 1369، ص 66).
با ظهور نيوتن, روشهاي جبري تكامل قابل توجهي يافت. نيوتن با ابداع حساب مشتقات, ابزاري ساخت كه همة هنرنماييهايش قابل نمايش هندسي نبودند. از اين رو، روشهاي جبري را بيش از پيش توسعه داد. با وجود اين, در بيان مفهوم "فضا و زمان" در فيزيك‌اش به يك نظام هندسي كامل معتقد بود.
پارادايم هندسة اقليدسي، پس از انقلاب علمي، نه‌تنها دانشمندان, بلكه پژوهش فيلسوفان دربارة فضا و زمان را نيز به شدت تحت تأثير قرار داد. از جملة اين فيلسوفان مي‌توان به دكارت، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. اين فيلسوفان قبل از نيوتن بودند. اما پس از وي، كانت را مي‌توان از مهم ترين فيلسوفاني دانست كه افكارش دربارة فضا و زمان بر قوام هندسة اقليدسي به عنوان تنها هندسة متصور براي جهان, بيش از پيش تأكيد كرد.
كانت در پي حقايقي بود كه زندگي روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غير ممكن است. اين حقايق لزوماً حقايق منطقي نيستند. از نظر كانت, قضاياي تركيبي پيشين از جملة اين حقايق‌اند و هندسة اقليدسي مجموعه‌اي از قضاياي تركيبي پيشيني است دربارة ساختار مكاني كه به ادراك در مي‌آيد. بنابراين اصول و قضاياي هندسة اقليدسي جزو حقايقي هستند كه ما تنها بدان صورت جهان را ادراك ميكنيم. ترودائو (Richard J. Trudeau) در كتاب انقلاب غيراقليدسي (The Non-Euclidean Revolution) چنين مي‌گويد: "كانت اظهار نمود كه تنها تبيين همان است كه اصول اقليدس دربارة چگونگي پردازشگري داده‌هاي حسي، داده‌هايي كه فضاي حقيقي را تشكيل مي‌دهند، توصيف مي‌نمايد. فضاي پردازش شده، فضاي مطالعه شده در هندسه، تحت قلمرو اصول اقليدس است؛ زيرا اصول اقليدس همان اصولي هستند كه فضا به وسيلة آنها تشكيل شده است! عدم توانايي ما در ترديد در اصول اقليدس، انعكاسي از اين حقيقت است كه مغز ما به همانگونه ساخته شده كه ما واقعاً قادر نيستيم دربارة فضا به روش ديگر فكر كنيم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات كانت و طرفداري وي از مفهوم فضا و زمان نيوتني, سبب شد كه اين اعتقاد كه تنها يك هندسه وجود دارد و آن هندسة اقليدسي است، تنها تفكر حاكم بر دانشمندان و فيلسوفان قرون هيجده و نوزده شود.
3ـ اصل توازي
اقليدس اصل پنجم از اصول هندسة خود را چنين بيان مي‌كند: "هرگاه خط راستي دو خط راست ديگر را قطع كند و مجموع زواياي دروني يك طرف آن خط از دو قائمه كمتر باشد، اگر اين دو خط را بينهايت امتداد دهيم، سرانجام در همان طرفي كه مجموع زوايا كمتر از دو قائمه است, يكديگر را قطع مي‌كنند". بيان ديگري از اين اصل آن است كه بگوييم كه از هر نقطه غير واقع بر يك خط, يك و فقط يك خط به موازات آن مي‌توان رسم كرد. از اين رو اين اصل به اصل توازي هم مشهور است. اقليدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چنداني نداشت و اين واقعيت مؤيد آن است كه او استفاده از آن را براي اثبات قضايا، تا آنجا كه ممكن بوده - تا گزارة بيست و نهمش - به تعويق انداخته است. خود اين اصل نيز، هم توسط يونانيان زمان اقليدس و هم در سده‌هاي بعد, مورد ترديد قرار گرفته است و عدة بسياري سعي در اثبات آن از اصول پيشين داشته‌اند.
نخستين تلاشي كه براي اثبات به عمل آمده، توسط بطلميوس بوده است. اما استدلال او به دور منجر ميشد. پروكلوس (Proclus) (410 تا 485 بعد از ميلاد)، كه شرح او بر كتاب اصول يكي از منابع اصلي اطلاعات ما در زمينة هندسه يونان است، از اصل توازي بدين گونه انتقاد كرده است: "اين را بايد حتي از شمار اصول موضوعه بيرون آورد؛ زيرا اين قضيه‌اي است كه دشواريهاي زيادي در بر دارد و بطلميوس در كتابي به گشودن آنها همت گمارده است... اين كلمه كه، چون دو خط را هرچه بيشتر امتداد دهيم بيش از پيش به هم نزديك ميشوند و سرانجام همديگر را قطع مي‌كنند، پذيرفتني است ولي نه هميشه " (گرينبرگ،1370، ص 124). پروكلوس هذلولي را مثال مي‌زند كه آن اندازه كه بتوان تصور كرد, به مجانبهايش نزديك ميشود, بي‌آنكه هرگز آنها را قطع كند. او مي‌گويد: "پس روشن است كه بايد براي اين قضيه كنوني برهاني بيابيم و اين مخالف ماهيت خاص اصل موضوعه است "(همان).
از مهمترين تلاشهايي كه بعدها براي اثبات اصل توازي به عمل آمده, از خواجه نصيرالدين طوسي (1274-1201) است. سپس جان واليس (John Wallis) (1703-1616) با بيان اصل موضوعة جديدي به جاي اصل پنجم (اصل توازي), سعي در اثبات آن نمود. وي فكر مي‌كرد كه اصل موضوعة وي, قابل قبول‌تر از اصل توازي است. اما معلوم شد كه اصل واليس و اصل پنجم اقليدس منطقاَ هم عرض مي باشند, سپس جيرو لامو ساكري (girolamo saccheri) (1733- 1667) در كتاب كوچكي به نام _ اقليدس عاري از هرگونه نقص _ سعي در ارائة اثباتي با استفاده از برهان خلف برآمد. وي نقيض اصل توازي را پذيرفت و سپس سعي كرد تا تناقص را از آن نتيجه بگيرد. وي به ويژه بعضي از چهار ضلعيها را كه زواياي مجاور به قاعده شان قائم و اضلاع اين زوايا با هم قابل انطباِقاند, مورد مطالعه قرارداد.
سه حالت ممكن است پيش بيايد: 1ـ زاويه‌هاي بالايي قائم‌اند؛ 2ـ زاويه‌هاي بالايي منفرجه‌اند؛ 3ـ زاويه‌هاي بالايي حاده‌اند. براي اثبات حالت اول، يعني همان حالتي كه در هندسة اقليدسي هست، ساكري (saccheri)كوشش كرد نشان دهد كه دو حالت ديگر به تناقض منجر ميشوند. او توانست نشان دهد كه حالت دوم منجر به تناقض ميشود؛ ولي هر اندازه كوشش كرد نتوانست تناقضي در حالت سوم به دست آورد و آن را "فرض خصمانة زاويه حاده" ناميد. او موفق شد نتايج بسيار عجيبي بدست آورد، ولي تناقضي بدست نياورد و سرانجام از روي عجز بانگ برآورد: "فرض زاوية حاده مطلقاً غلط است، زيرا كه اين فرض با ذات خط مستقيم ناسازگار است !" به قول ماروين جي گرينبرگ: "درست شبيه مردي كه الماس نايابي را كشف كرده باشد, ولي نتواند آنچه را مي‌بيند باور كند و بانگ بر آورد كه شيشه است !" (همان، ص 131).
تلاشهايي كه براي اثبات اصل پنجم اقليدس صورت گرفته بود, به اندازه‌اي زياد بود كه گ.ز.كلوگل (G. S. Klugel) در سال 1763 موفق شد رساله‌اي براي دكترا تهيه كند كه در آن نقايص 28 برهان مختلف از اصل توازي را پيدا و در ثابت شدني بودن آن اظهار ترديد كند. دايرةالمعارف نويس و رياضيدان فرانسوي ژ.ل.ر.دالامبر(J.L.R.d Alember) اين وضع را "افتضاح هندسه" ناميده بود. اصل توازي همچون اعوجاجي در هندسة اقليدسي بود. بيش از دو هزار سال رياضيدانان تلاش مي‌كردند كه به گونه‌اي آن را مرتفع سازند, اما همواره با شكست روبه رو مي‌شدند. رياضيدانان به تدريج نوميد مي‌گشتند. فوركوش بويوئي(Bolyai) مجارستاني به پسرش يانوش نوشت: "تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازيها تلاش كني. من پيچ و خمهاي اين راه را از اول تا آخر آن مي‌شناسم، اين شب بي‌پايان را كه همة روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است سپري كرده‌ام. التماس مي‌كنم كه دانش موازيها را رها كني. من در اين انديشه بودم كه خود را در راه حقيقت فدا كنم. حاضر بودم شهيدي باشم كه اين نقص هندسه را مرتفع سازد و پاك شدة آن را به عالم بشريت تقديم نمايد. من زحمتي عظيم و سترگ كشيدم. آنچه را كه من آفريدم به مراتب برتر از آفريدة ديگران است. ولي باز هم رضايت خاطر به دست نياوردم... وقتي دريافتم كه هيچ كس نمي‌تواند به پايان اين شب ظلماني راه يابد، بازگشتم. بي‌تسلاي خاطر بازگشتم، در حالي كه براي خود و بشريت متأسف بودم... من مدتها در اين ديار بوده‌ام و به تمامي صخره‌هاي جهنمي اين درياي مرده سفر كرده‌ام و هميشه هم با دكل شكسته و بادبان پاره پاره برگشته‌ام. تباهي وضع و سقوط من به آن دوران باز ميگردد. من از روي بي‌فكري زندگاني و خوشبختايم را به مخاطره افكندم" (همان، ص 132).
اين ناكاميها نشانة بروز بحراني جدي در پارادايم اقليدسي بود. جالب آنكه رياضيدانان كه معمولاً تصور ميشود به لحاظ نوع فعاليتي كه انجام مي‌دهند, افرادي منطقي‌اند به مدت بيش از دو هزار سال بر اين فكر پاي فشردند كه اصل پنجم اقليدسي، اصلي وابسته به ساير اصول است و به‌رغم تلاشهاي بي‌شمارشان در جهت اثبات آن كه همواره با شكست مواجه ميشد، هيچگاه بدين فكر نيفتادند كه شايد اصل توازي واقعاً يك اصل باشد؛ اصلي مستقل از ساير اصول. گرچه در اين مدت عدة انگشت‌شماري با اين تصور حاكم بر جامعة رياضي مخالفت نمودند, اما جامعة رياضيدانان هيچگاه بدانها اجازه بروز نداد. تا اينكه در قرن نوزدهم چند تن از رياضيدانان همزمان به اين موضوع انديشيدند كه شايد اصل اقليدس اصلي مستقل از ساير اصول باشد.
4ـ انقلاب نااقليدسي
يانوش بويوئي از اخطار پدر نهراسيد؛ زيرا انديشة كاملاً تازه‌اي را در سر مي‌پرورانيد. او فرض مي‌كرد كه نقيض اصل اقليدس حكمي بي‌معنا نيست. وي در 1823 به پدرش چنين مي‌نويسد:
"چيزهايي كه كشف كرده‌ام به اندازه‌اي شگفت‌انگيزند كه خودم حيرت زده شده‌ام و بدبختي جبران ناپذيري خواهد بود اگر اينها از دست بروند... در شرايط كنوني, تنها چيزي كه مي‌توانم بگويم اين است كه از هيچ، دنيايي تازه و شگفت‌انگيز آفريده‌ام" (همانجا، ص 132). پدر يانوش كار وي را براي گاوس (Gauss) شاهزادة رياضي‌دانها فرستاد. اما برخورد سرد گاوس موجب سرخوردگي يانوش شد؛ به گونه‌اي كه هرگز به فكر انتشار پژوهشهايش نيفتاد.
اما شواهدي در دست است كه گاوس پيشتر از بويوئي به برخي اكتشافات هندسه نااقليدسي دست يافته بوده است. در 1817 گاوس به و.البرس (W. Olbers) نوشت: "دارم بيش از پيش متقاعد مي‌شوم كه لزوم اينكه هندسه ما بايد اقليدسي باشد، دست كم نه با عقل آدمي و نه براي عقل آدمي، نمي‌تواند اثبات شود. شايد در حياتي ديگر بتوانيم بينش دروني از ماهيت فضا بهدست آوريم كه اكنون دست يافتني نيست " (همان، ص 149). وي در نامه‌اي ديگر در 1824 به ف.آ. تاورينوس (F.A. Taurinus) مي‌گويد: "پذيرفتن اينكه مجموع سه زاويه كمتر از180 باشد, به هندسة شگفت‌انگيزي منجر ميشود كه با هندسة اقليدسي ما به كلي متفاوت، اما كاملاً سازگار است و من آن را بسط داده‌ام و كاملاً از آن راضي هستم... همة تلاشهاي من براي يافتن يك تناقض يا يك ناسازگاري در اين هندسه نااقليدسي به شكست انجاميده است... چنين بهنظر مي‌رسد كه به‌رغم گفته‌هاي خردمندمآبانة حكماي مابعدالطبيعه، بايد گفت كه ما دربارة ماهيت واقعي فضا بسيار كم مي‌دانيم، يا بهتر بگويم اصلاً نمي‌دانيم تا بگوييم كه فلان امر مطلقاً غير ممكن است, فقط به اين دليل كه غيرعادي بهنظر مي‌رسد" (همان، ص 151).
وي در جاي ديگري از نامه‌اش مي‌نويسد: "پروا ندارم از اينكه آنچه گفتم, مورد سوء تعبير كساني واقع شود كه به ظاهر ذهن رياضي انديشي دارند؛ ولي درهرحال، اين را به عنوان يك نامة خصوصي تلقي كنيد كه به هيچ وجه مورد استفادة عمومي يا مورد استفاده‌اي كه به نحوي صورت تبليغ پيدا كند، قرار نگيرد. شايد خودم در آينده، هنگامي كه نسبت به امروز, فراغت بيشتري دست دهد، بررسيهايم را منتشر سازم" (همان)، اما گاوس هيچگاه آثار خود را منتشر ننمود، چرا؟
منظور گاوس از "حكماي مابعدالطبيعه" در نامه‌اش، پيروان كانت بودند. كشف هندسة نااقليدسي به دست گاوس، اين نظر كانت را كه فضاي اقليدسي ذاتي ساختار ذهن ماست، رد مي‌كرد. از آنجا كه فلسفة كانت در اواخر سدة هيجدهم و بيشتر سدة نوزدهم در سراسر اروپا رواج داشت، اظهارات گاوس مي‌توانست منجر به كشمكشها و حملات فراواني به وي گردد. از اين رو, گاوس از علني ساختن آثار انقلابياش عملاً بيمناك بود. بايد توجه كرد كه گاوس يك رياضيدان معمولي زمان خويش نبود؛ او كسي بود كه لئويولد كرونكر (Kronecker) درباره‌اش چنين مي‌گويد: "تكامل تدريجي و توسعة منظم دانش حساب و تقريباً تمام آنچه در رياضيات قرن ما (نوزدهم) انجام گرفت, در خط سير افكار بديعي بوده است كه به وسيلة گاوس داده شد" (بنقل از تمپل بل، 1363، ص 250).
هاورد ايوز (Howard W.Eves)نيز وي را چنين توصيف مي‌كند:"قرون هيجدهم و نوزدهم در زير سيطرة رياضي پر صلابت كارل فريدريش گاوس، همچون گسترة خليج رودس در زير پاي تنديس عظيم آپولون قرار دارد." وي را عموماً بزرگترين رياضيدان قرن نوزدهم و همراه با ارشميدس و نيوتن، يكي از بزرگترين رياضيدانان همة اعصار برشمرده‌اند" (ايوز، 1368، ص167). اهميت علمي گاوس تا بدان درجه است كه وي شهزادة رياضيدانان ناميده شده است. با وجود اين اعتبار علمي، گاوس در برابر جامعه‌اي كه غرق در هندسة اقليدسي بود، جرأت اظهار نظرهايش را نداشت.
تصور عموم از رياضيدانان چنان است كه آنها هر نظرية رياضي را با معيار و ملاك منطق، درستي استدلالها و سازگاري آن مي‌سنجند و در صورتي كه نظريه‌اي واجد اين شرايط باشد, در برابر آن سر تسليم فرود مي‌آورند. اما به نظر مي‌رسد كه پذيرش و مقبوليت يك نظريه در يك جامعة علمي بستگي دارد به اين كه براي جامعة مورد نظر چه چيزي مهم باشد و يا به چه امري ارزش بنهد. براي جامعة رياضي قرن نوزدهم كه نه‌تنها هندسة اقليدسي را تنها تبيين‌كنندة عالم هستي ميدانست, بلكه شيوة ادراك ما از عالم هستي را به صورت هندسة اقليدسي ميدانست، تنها مسائلي كه برايش مهم بودند، قوام بخشيدن به اين هندسه و رفع مشكلات آن بود. واضح است كه در اين صورت, بيان هندسة ديگري نمي‌توانست از منزلت چنداني برخوردار باشد و اعتراضات شديدي را در پي‌داشت. اين بدان معنا نيست كه پيروي از منطق و سازگاري يك نظرية رياضي در پذيرش آن مورد توجه رياضيدانان قرار نمي‌گيرد؛ بلكه متذكر اين نكته است كه منطق تنها عامل پذيرش يك نظريه نيست؛ بلكه تعلقات متافيزيكي جامعة علمي نيز درآن مؤثر است و گاهي اين تأثير بسيار عميق‌تر از تأثير عوامل منطقي و رياضي است؛ بهطوري كه رياضيدان شهيري مثل گاوس, بيم بيان نظرهايش را دربارة هندسه نااقليدسي دارد. حتي نيكلاي لباچفسكي (Lobachevsky) كه در سال 1829 جرأت انتشار مقاله‌اش در باب هندسة نااقليدسي را يافت، نتوانست توجه جامعة علمي را بخود جلب كند. حال اين پرسش مطرح ميشود كه سرانجام، چگونه هندسه نااقليدسي مورد پذيرش قرار گرفت؟ جالبترين نكتة اين داستان در اينجاست كه تا وقتي مكاتبات گاوس پس از مرگ او در سال 1855 منتشر نشده بود، جهان رياضي هندسة نااقليدسي را جدي نگرفت. يعني آنچه كه سبب مقبوليت هندسه نااقليدسي شد، شهرت رياضي همان گاوسي بود كه خودش جرأت انتشار آثارش دربارة هندسه نااقليدسي را نداشت. همين شهرت سبب شد عده‌اي از بهترين رياضيدانان, همچون بلترامي (Beltrami)، كلاين (Klein)، پوانكاره (Poincare) و ريمان (Rieman)موضوع را جدي گرفتند و بسط دادند و آن را در شاخه‌هاي ديگر رياضيات به كار بردند و همين سبب مقبوليت هندسة نااقليدسي شد. آنچه كه در پذيرش هندسة نااقليدسي نقشي تعيين‌كنندهاي ايفا كرد, اين سخن پر بصيرت و ژرف كوهن بود كه در گزينش ميان نظريه‌هاي علمي "هيچ ميزاني بالاتر از توافق جامعة مربوطه وجود ندارد" (kuhn;1970,p.94). و اين ميزان وابسته به ارزشها و معيارهاي فرامعرفتي آن جامعه است. در 1868 بلترامي براي آخرين بار مسألة اثبات اصل توازي را پيش كشيد و ثابت كرد كه اثبات آن غير ممكن است! او اين كار را از اين راه كه هندسه نااقليدسي درست مثل هندسة اقليدسي، هندسه‌اي سازگار است، اثبات نمود. همچنين در سال 1854 ريمان با گذاشتن اصل ديگري بجاي اصل توازي، هندسه جديدي را بنا نهاد. در اين هندسه, از يك نقطه غير واقع بر يك خط هيچ خط, موازي با آن خط نمي‌گذارد.
5ـ هندسه پيش و پس از انقلاب نااقليدسي
پس ازانقلاب نااقليدسي، مسألة اصل توازي كه بيش از دوهزار سال در هندسة اقليدسي مسأله‌اي جدي بود, بهكلي از ميان رفت و با جانشيني اصول ديگري, هندسه‌هاي نويني ابداع شد. از آنجا كه هندسه‌هاي نااقليدسي از بطن هندسة اقليدسي سر برآوردند, بسياري از اصول و قضاياي هندسه اقليدسي حفظ شدند؛ اما برخي ديگر از اصول و قضاياي آن يا به كلي از ميان رفتند و يا نقيض آنها در هندسه‌هاي جديد پديدار گشتند. خطي كه در هندسه‌هاي اقليدسي و لباچفسكي با يك نقطه به دو بخش تقسيم ميشوند در هندسة ريماني به دو بخش تقسيم نمي‌گردند. خطوط موازي كه در هندسة اقليدسي, هم فاصله‌اند, در هندسة لباچفسكي هرگز هم فاصله نيستند و در هندسة ريماني اصلاً خطوط موازي وجود ندارند. اگر خطي يكي از دو خط موازي را قطع كند، در هندسة اقليدسي بايد ديگري را نيز قطع نمايد, در حاليكه در هندسة لباچفسكي ممكن است قطع كند يا قطع نكند و در هندسة ريماني چون خطوط موازي وجود ندارند، اين موضوع مطرح نمي‌گردد. دو خط متمايز عمود بر يك‌خط در هندسة اقليدسي و لباچفسكي موازيند, در حالي كه در هندسة ريماني همديگر را قطع مي‌كنند. مجموع زواياي يك مثلث در هندسة اقليدسي برابر با 180درجه, در هندسة لباچفسكي كمتر از 180درجه و در هندسة ريماني بيشتر از180درجه است. مساحت يك مثلث در هندسة اقليدسي مستقل از مجموع زواياي آن است, در حاليكه در هندسة لباچفسكي متناسب باكاهش زواياي‌مثلث ودر هندسة ريماني متناسب با افزايش زواياي مثلث است.
پس از انقلاب نااقليدسي و نشان دادن سازگاري تمام هندسه‌هاي نااقليدسي, اين سؤال مهم مطرح شد كه كداميك از اين هندسه‌ها معرف يا حكايتگر جهان طبيعي است كه ما در آن زندگي ميكنيم؟ يا به عبارتي ديگر, كداميك از اين هندسه‌ها درست‌اند؟ هانري پوانكاره (1912-1854م.), رياضيدان و فيزيكدان فرانسوي به اين پرسش چنين پاسخ داد:
"اصول موضوعة هندسي نه شهودهاي تركيبي پيشيني هستند و نه حقايق تجربي؛ بلكه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از ميان همة قراردادهاي ممكن به وسيلة حقايق تجربي رهبري ميشود. ولي انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود ميشود. بنابراين اين اصول‌اند كه مي‌توانند دقيقاً درست باقي بمانند. حتي اگر قوانين تجربي كه موجب پذيرفته شدن آنها شده‌اند, تقريبي باشند. به عبارت ديگر, اصول موضوعة هندسه, تنها عبارتاند از تعاريف در لباس مبدل. پس دربارة اين پرسش كه " آيا هندسة اقليدسي درست است؟" چه بايد انديشيد؟ پرسش بي‌معنا است، درست مثل اينكه بپرسيم آيا دستگاه متري درست است و اوزان و مقياسهاي قديم نادرست‌اند؟ آيا مختصات دكارتي درست و مختصات قطبي نادرست‌اند؟... هيچ هندسه‌اي نمي‌تواند درست‌تر از هندسة ديگر باشد؛ تنها ممكن است مناسبتر باشد" (به نقل از گرينبرگ، 1370، ص 124). پرسش فوق و بحث متعاقب آن، بر اين موضوع كه هندسه و بهطور كلي رياضيات، از چه سخن مي‌گويد, پرتوي تازه افكند. هندسه از پرتوهاي نور صحبت نمي‌كند، ولي مسير يك پرتو نور ممكن است تعبير مادي از اصطلاح هندسي تعريف نشدة "خط" باشد. سبب اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه از قبيل نقطه، خط و صفحه تعريف نشده‌اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي‌آنكه در درستي نتايج تأثيري داشته باشد. از اين رو هيلبرت (Hilbert), بزرگترين رياضيدان قرن بيستم, كتاب مباني هندسه(Foundation of Geometry) خود را با اين "تعريف" آغاز مي‌كند: "سه مجموعه از چيزهاي جدا از هم را در نظر بگيريد. فرض كنيد اشياي مجموعة اول نقاط ناميده شوند و با C,B,A و... نشان داده شوند. فرض كنيد اشياي مجموعة دوم خطوط ناميده شوند و با c,b,a و... نمايش داده شوند. فرض كنيد اشياي مجموعة سوم صفحات ناميده شوند و با a, b, d و..... نمايش داده شوند"(brown;1999, p.95). همچنين از او نقل شده است كه مي‌گفته: "آدمي بايد هميشه به جاي نقطه و خط و صفحه بتواند ميز و صندلي و ليوان آبجو بگويد" (گرينبرگ، ماروين جي، 1370، ص 57) در واقع, به جاي اينكه بگوييم: "دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي‌كنند", مي‌توانيم بگوييم: " A و B فقط يك a را مشخص مي‌سازند "با وجود تغييري كه در اصطلاحها داريم, باز هم اثبات همة قضاياي ما معتبر خواهند ماند؛ زيرا دليلهاي درست به شكل و نمودار بسته نيستند, بلكه فقط به اصول موضوعه‌اي كه وضع شده‌اند و به قواعد منطق بستگي دارند. بنابراين هندسه, تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي‌سازد به صورت "هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان ميشود" و اساساً در آن صحبتي از معناي فرضها يا راست بودن آنها نيست. مفاهيم اوليه از قبيل خط و نقطه كه در فرضها ظاهر مي‌گردند, به طور ضمني به وسيلة اين اصول موضوعه، كه درحكم قواعد بازي هستند و انگار بما مي‌گويند چگونه بايد بازي كرد، تعريف ميشوند. اين ديدگاه, كه هيلبرت اولين بار ادعاهايي در اين باره در كتاب مباني هندسه‌اش بيان نمود, بعدها منجر به پيدايش مكتب صورتگرايي در رياضيات شد. مطابق اين مكتب، رياضيات با دستگاههاي نمادي صوري سروكار دارد. در واقع، رياضيات مجموعه‌اي از آن مباحث مجرد تلقي ميشود كه در آن, اصطلاحات صرفاً نمادهايي هستند و احكام، قواعدي (اصول) متضمن اين نمادها. رياضيات عاري از محتواي ملموس و تنها شامل عناصر نمادي آرماني است. پرواضح است كه ديدگاه صورتگرايي با عقيدة كهن‌تري كه رياضيات را "حقيقت محض" مي‌پنداشت و از زمان اقليدس تا قرن نوزدهم بر رياضيات، فيزيك و نجوم سايه افكنده بود و پژوهشهاي عالمان اين حوزه‌ها را هدايت مي‌كرد و كشف هندسة نااقليدسي بناي آن را به كلي فرو ريخت، اساساً ناسازگار است. پس از انقلاب نااقليدسي, رياضيدانان آزاد بودند كه هر مجموعه‌اي از اصول موضوعه را كه دلشان بخواهد ابداع كنند و بر آنها نتايجي مترتب سازند. ژان ديودونه در اين باره چنين مي‌گويد: "در تاريخ رياضيات اين كشف نقطة عطف بسيار مهمي بود كه اولين مرحله را در مفهوم تازه‌اي از رابطة بين جهان واقعي و مفهومهاي رياضي كه گمان مي‌رود به آن مربوطاند, نشان مي‌داد"با كشف گاوس دربارة هندسه نااقليدسي اين ديدگاه نسبتاً ضعيف كه اشياي رياضي تنها "مثل" (به معنا افلاطوني) اشياي محسوس‌اند, ديگر نگهداشتني نبود و تدريجاً جاي خود را به دريافتي روشنتر از پيچيدگي خيلي بيشتر مسأله داد كه در آن, امروز چنين به نظر مي‌رسد كه رياضيات و واقعيت تقريباً به طور كامل از هم مستقل شده‌اند و تماس آنها اسرار آميزتر از هميشه شده است" (همان، ص 254).
بهطور كلي, پس از انقلاب نااقليدسي, نه‌تنها اصول و مفاهيم هندسه به كلي تغيير نمودند, بلكه مفهوم هندسه و به طور عامتر, رياضيات پيش و پس از انقلاب, اساساً تفاوت پيدا كردند. به طوري كه اگر دانشجوي رياضي زمان حاضر آثار رياضي پيش از انقلاب نااقليدسي را مطالعه كند، با افرادي مواجه ميشود كه بهجاي پرداختن به مدلهاي رياضي و هندسي، در مورد رياضيات و هندسه به گونه‌اي حرف مي‌زنند كه گويا از ويژگيها دنياي واقعي صحبت مي‌كنند و چه بسا از نظر اين دانشجو, اين گفته‌ها بسيار سخيف و بيهوده آيد؛ به طوري كه وي براي درك رياضيات و هندسة پيش از انقلاب نااقليدسي بايد نوع و نگرش خود به رياضيات و هندسه را تغيير دهد كه در اين صورت مشاهده خواهد كرد كه رياضيات و هندسه پيش و پس از انقلاب نااقليدسي قياس ناپذيرند.
6ـ نتيجه
شايد به نظر برسد كه چون رياضيات، برخلاف علوم طبيعي مثل فيزيك، نجوم و شيمي، با مشاهدات تجربي در تماس نيست؛ هيچگاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همانطور كه ديديم, اعوجاج در رياضيات از نوع ديگري است؛ مثلاً ترديد دربارة اصل بودن اصل توازي همچون اعوجاجي در هندسه آشكار شد و با مقاومت در برابر كوششهاي رياضيدانان جهت اثبات آن, جامعة رياضيدانان را با بحران مواجه نمود.
اما نكته بسيار مهم اين است كه اين اعوجاج و بحران در پي آن در بنيادي‌ترين سطح هندسه به طرد هندسة اقليدسي نيانجاميد؛ بلكه به مدت بيش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلكه به علوم ديگر مثل نجوم، فيزيك و حتي فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زيرا اگر هندسه‌دانان، هندسة اقليدسي را به سبب اعوجاجي كه در اصول بنياني‌اش بود، رها مي‌كردند، هيچ نظرية جانشيني نداشتند. در اين صورت, تكليف فعاليت پژوهشي آنها در هندسه چه ميشد؟ همين تعلقات حرفه‌اي سبب شد كه هندسة اقليدسي بيش از دو هزار سال تنها پارادايم حاكم در حوزة رياضيات باشد. زماني كه بويوئي، گاوس و لباچفسكي هندسة جديد را مطرح كردند، نظرية رقيبي براي هندسة اقليدسي ظاهر شده بود كه مي‌توانست جانشين آن شود. همين، موجبات انقلاب نااقليدسي را فراهم نمود. اما ديديم كه تغيير حمايت از پارادايم اقليدسي به نااقليدسي از جانب يكايك رياضيدانان ناشي از برهانهاي صرفاً منطقي دربارة سازگاري هندسي نااقليدسي نبود؛ زيرا جامعة رياضي قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زماني كه لباچفسكي آن را منتشر كرد تا زمان مرگ گاوس از اين برهانها آگاهي داشت, اما هيچگاه آن را جدي نگرفت. آنچه سبب پذيرش هندسة نااقليدسي شد, عاملي بود وراي استدلالهاي رياضي و آن اينكه شخصي همچون گاوس شهزادة رياضيدانان, در نامه‌هايش از آن طرفداري كرده بود. در واقع, رياضيدانان نيز همچون "دانشمندان به دلايل گوناگون طرفدار پارادايم جديد ميشوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دليل چنين مي‌كنند. بعضي ازاين دلايل - مثلاً خورشيدپرستي كه كپلر را يكي از كوپرنيكيان ساخت - كاملاً در خارج قلمرو آشكار علم قرار دارد. بعضي ديگر وابسته به مزاج شخص و زندگينامه و شخصيت اوست - حتي مليّت يا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وي گاه مي‌تواند نقش مؤثر ايفا كند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد كه تعدادي از بهترين رياضيدانان كه مرجعيت جامعة رياضي به عهده‌شان بود، از هندسة نااقليدسي حمايت كنند و اين سبب پذيرش اين هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمي عبارت است از طرد يك پارادايم و قبول پارادايمي جديد، نه از سوي يك دانشمند به تنهايي؛ بلكه از سوي جامعة علمي مربوطه در تماميت آن " (چالمرز، 1374، ص 117).
بنابراين آنچه توسط استقرارگرايان و ابطال‌گرايان به عنوان منطق اكتشافات علمي گفته ميشود، بايد بهطور جدي مورد تجديدنظر قرار گيرد؛ زيرا همانطور كه ديديم, عملكرد دانشمندان و حتي رياضيدانان در رسيدن به نظريه‌هاي علمي جديد، رفتاري كاملاً بشري است كه ما مي‌توانيم در حوزه‌هاي ديگر زندگيشان ببينيم. همانطور كه هري كالينز (Harry Collins) و ترور پينچ (Trevor Pinch) دو جامعه‌شناس علم معاصر، مي‌گويند: "آنچه پژوهشهاي موضعي ما نشان مي‌دهد, اين است كه هيچ منطق اكتشاف علمي وجود ندارد و يا بلكه اگر چنين منطقي وجود دارد، آن منطق، منطق زندگي روزمره است " (pinch; 1993, p.142).
منابع:
1_ ايوز، هاورد و، (1368)، آشنايي با تاريخ رياضيات، ج اول، چ دوم (محمد قاسم وحيدي اصل /مترجم)، تهران: نشر دانشگاهي (تاريخ انتشار اثر به زبان اصلي 1976)
2_ برت، ادوين آرتور (1369)، مباني ما بعد الطبيعي علوم نوين (عبدالكريم سروش / مترجم) تهران: علمي و فرهنگي.
3_ تمپل بل، اريك (1363)، رياضيدانان نامي،چاپ دوم (حسن صفاري / مترجم) تهران: اميركبير.
4_ چالمرز، آلن ف (1374)، چيستي علم (سعيد زيبا كلام / مترجم)، تهران: علمي و فرهنگي (تاريخ انتشار اثر به زبان اصلي 1982).
5_ كاپلستون، فردريك (1368)، تاريخ فلسفه، يونان و روم (سيد جلال‌الدين مجتبوي / مترجم)، تهران: سروش (تاريخ انتشار اثر به زبان اصلي 1971).
6_ گرينبرگ، ماروين جي (1370)، هندسه‌هاي اقليدسي و نااقليدسي،چ سوم (م.ه - شفيعيها مترجم) تهران: نشر دانشگاهي (تاريخ انتشار اثر به زبان اصلي 1979).
7_ Brown, James Robert. (1999) Philosophy of Mathematics An. Introduction to the World of Proofs and Pictures, Routledge
8_ Dijksterhuis, E. J. (1986) The Mechanization of the World Picture: Pythagoras to Newton, Princeton University Press.
9_ Lakatos and Musgrave (1970) Criticism and the Growth of knowledge,Cambridge University Press.
10_ Kuhn, Thomas S. (1970) The Structure of Scientific Revolutions,(2d ed), Chicago: University of Chicago Press.
11_ Pinch, Trevor and Collins, Harry (1993) The Golem: What Every one should know about Science, Cambridge, Cambridge U,P.
12_ Trudeau, Richard J(1987)’ The Non-Euclidean Revolution’ Birkhauser Boston.
پي نوشت:
1_ مربي پژوهشگاه علوم انساني و مطالعات فرهنگي
vBulletin v4.2.5, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd.